Asintoti verticali, orizzontali e obliqui: come trovarli con i limiti

Nello studio di funzione gli asintoti valgono più dei punti che assegnano: sono lo scheletro del grafico. Se li sbagli, la curva che disegni alla fine è sbagliata anche se derivata, massimi e flessi sono perfetti. Nei nostri corsi di quinta vediamo che quasi nessuno sbaglia il calcolo del limite in sé: si sbaglia prima, nel decidere quali limiti calcolare, oppure dopo, nel leggere il risultato. Questa guida mette in fila i tre tipi, il procedimento per ciascuno, quattro esempi con i numeri e gli errori che correggiamo più spesso.

Cos'è un asintoto e perché conta nello studio di funzione?

Un asintoto è una retta a cui il grafico si avvicina sempre di più man mano che ci si sposta lungo la curva: verso un punto in cui la funzione "esplode", oppure verso l'infinito. Ne esistono tre tipi — verticale $x = x_0$, orizzontale $y = L$, obliquo $y = mx + q$ — e tutti e tre si scoprono con un limite. È il motivo per cui il capitolo sui limiti viene prima di questo: se ti serve un ripasso, la nostra guida ai limiti per la Maturità parte da zero.

Nel problema di analisi della seconda prova, dopo dominio e segno, gli asintoti sono il primo pezzo di grafico che puoi disegnare: tracci le rette tratteggiate e la curva deve incastrarsi lì dentro. Per questo un asintoto mancato o sbagliato non costa mezzo punto: sposta l'intero disegno. Un dettaglio utile per orientarsi: una funzione può avere infiniti asintoti verticali ($\tan x$ ne ha uno in ogni $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$), ma al massimo due tra orizzontali e obliqui, uno per ciascun lato.

Come si trova un asintoto verticale?

Il procedimento ha tre passaggi. Primo: si calcola il dominio, perché i candidati sono i punti esclusi e i bordi finiti — gli zeri del denominatore, il punto in cui si annulla l'argomento di un logaritmo. Secondo: in ogni candidato $x_0$ si calcolano il limite destro e il limite sinistro, separatamente. Terzo: se almeno uno dei due è $\pm\infty$, la retta $x = x_0$ è asintoto verticale.

Prendiamo $f(x) = \dfrac{3x-1}{2x+5}$. Dominio: $2x + 5 \neq 0$, cioè $x \neq -\frac{5}{2}$. In $x_0 = -\frac{5}{2}$ il numeratore vale $3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) - 1 = -\frac{17}{2}$, un numero diverso da zero, mentre il denominatore tende a $0$: il limite è infinito, resta da stabilire il segno.

Per il segno del denominatore basta un valore di prova: a destra di $-2{,}5$, per esempio in $x = -2{,}4$, si ha $2x + 5 = 0{,}2 > 0$; a sinistra, in $x = -2{,}6$, vale $-0{,}2 < 0$. Asintoto verticale $x = -\frac{5}{2}$, con la curva che scende a $-\infty$ arrivando da destra e sale a $+\infty$ arrivando da sinistra.

I due limiti separati servono a due cose. Ti dicono da che parte va la curva, senza cui il disegno è impossibile. E ti proteggono dai casi in cui l'asintoto esiste da un lato solo: $\ln x$ ha asintoto $x = 0$ soltanto da destra, perché a sinistra non è nemmeno definita, e tra poco vedremo una funzione che a destra di $0$ esplode e a sinistra arriva tranquillamente all'origine.

Ora il caso che inganna. $f(x) = \dfrac{x+2}{x^2-4}$. Dominio: $x^2 - 4 \neq 0$, cioè $x \neq 2$ e $x \neq -2$. Due candidati, ma con destini diversi.

In $x = 2$ il numeratore vale $4$ e il denominatore tende a $0$; $x^2 - 4$ è positivo fuori dall'intervallo $[-2, 2]$ e negativo dentro, quindi:

Asintoto verticale $x = 2$. In $x = -2$, invece, numeratore e denominatore tendono a $0$: forma $\frac{0}{0}$, dalla quale non si conclude nulla. Si scompone:

Limite finito: nessun asintoto. In $x = -2$ la funzione ha un buco, una discontinuità eliminabile, nel punto $\left(-2, -\frac{1}{4}\right)$: nel grafico si segna con un pallino vuoto, non con una retta tratteggiata.

Come si trova un asintoto orizzontale?

Si calcolano $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ e $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, uno per volta. Se il limite è un numero finito $L$, la retta $y = L$ è asintoto orizzontale su quel lato. Per le funzioni razionali il risultato dipende solo dai gradi: numeratore di grado minore, asintoto $y = 0$; gradi uguali, $y$ uguale al rapporto dei coefficienti direttivi; numeratore di grado maggiore, nessun asintoto orizzontale (e si passa a cercare l'obliquo).

Su $f(x) = \dfrac{3x-1}{2x+5}$ i gradi sono uguali. Raccogliendo $x$ sopra e sotto:

Asintoto orizzontale $y = \frac{3}{2}$, su entrambi i lati. Su $f(x) = \dfrac{x+2}{x^2-4}$ il numeratore ha grado $1$ contro $2$: il limite è $0$ e l'asintoto è l'asse delle $x$, $y = 0$. Lo si vede anche dalla forma semplificata $\frac{1}{x-2}$.

I due lati possono non coincidere. $\arctan x$ tende a $\frac{\pi}{2}$ per $x \to +\infty$ e a $-\frac{\pi}{2}$ per $x \to -\infty$: due asintoti orizzontali diversi. $e^x$ ha asintoto $y = 0$ solo verso sinistra, mentre verso destra sale all'infinito senza nessuna retta che lo accompagni. Le funzioni razionali si comportano sempre allo stesso modo sui due lati; tutte le altre — esponenziali, arcotangenti, radici, valori assoluti — vanno controllate lato per lato.

Un dettaglio che sorprende sempre: il grafico può attraversare un asintoto orizzontale. $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ ha asintoto $y = 0$ e passa per l'origine, quindi lo attraversa in $x = 0$; $\dfrac{\sin x}{x}$ lo attraversa infinite volte. L'asintoto orizzontale descrive dove va la curva all'infinito, non un muro al finito. È l'asintoto verticale a non poter essere attraversato, perché in $x_0$ la funzione non è definita.

Quando esiste l'asintoto obliquo e come si calcolano $m$ e $q$?

L'asintoto obliquo $y = mx + q$ si cerca solo dove non c'è quello orizzontale, cioè su un lato in cui $f(x) \to \pm\infty$. Sullo stesso lato orizzontale e obliquo si escludono a vicenda: se hai trovato $y = \frac{3}{2}$ per $x \to +\infty$, cercare anche un obliquo a destra è tempo perso. Per una funzione razionale la condizione è precisa: grado del numeratore uguale al grado del denominatore più uno. Se il salto è di due o più gradi, la funzione va all'infinito come una parabola o più in fretta, e nessuna retta la segue.

Le formule sono due:

L'asintoto esiste se entrambi i limiti sono finiti e $m \neq 0$. Se $m$ viene $0$, oppure $q$ infinito, la funzione cresce senza retta guida: succede a $\sqrt{x}$, a $\ln x$, a $x^2$.

Prendiamo $f(x) = \dfrac{2x^2+3x-1}{x-1}$. Grado $2$ sopra, $1$ sotto: candidata. Per completezza, il verticale è $x = 1$ (numeratore $4$, quindi $+\infty$ da destra e $-\infty$ da sinistra) e l'orizzontale non c'è, perché il limite all'infinito è infinito.

Asintoto obliquo $y = 2x + 5$, uguale sui due lati come sempre per le razionali.

Il passaggio in cui si perdono punti è il numeratore di $q$: $-2x(x-1)$ vale $-2x^2 + 2x$, e quel $+2x$ è il termine che sparisce. Chi scrive $2x^2 + 3x - 1 - 2x^2 - 2x = x - 1$ ottiene $q = 1$ e un asintoto $y = 2x + 1$: la retta giusta spostata di quattro unità verso il basso, e un grafico che non torna più.

C'è una strada più corta e più sicura, la divisione tra polinomi. Dividendo $2x^2 + 3x - 1$ per $x - 1$ si ottiene quoziente $2x + 5$ e resto $4$, cioè

Il quoziente è l'asintoto, il resto fratto il divisore è la parte che tende a zero. Una riga sola, con un'informazione in più: $\frac{4}{x-1}$ è positivo per $x > 1$ e negativo per $x < 1$, quindi la curva sta sopra la retta $y = 2x + 5$ a destra dell'asintoto verticale e sotto a sinistra. Quando arrivi a disegnare, questo ti dice da che parte della retta tratteggiata far correre la curva.

Un classico da seconda prova, dall'inizio alla fine

$f(x) = x\,e^{1/x}$. Non è razionale, quindi niente scorciatoie con i gradi: si segue lo schema per intero.

Dominio: $x \neq 0$. Un solo candidato per il verticale, due direzioni per l'infinito.

Verticale, $x \to 0^+$: $\frac{1}{x} \to +\infty$, quindi $e^{1/x} \to +\infty$. Il prodotto è una forma $0 \cdot \infty$; ponendo $t = \frac{1}{x}$ diventa $\lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t} = +\infty$, perché l'esponenziale batte qualunque potenza. Asintoto verticale $x = 0$, da destra.

Verticale, $x \to 0^-$: $\frac{1}{x} \to -\infty$, quindi $e^{1/x} \to 0$, e il prodotto $x\,e^{1/x} \to 0$. Da sinistra la curva arriva all'origine senza nessun asintoto. Stessa retta candidata, comportamento opposto sui due lati: è esattamente il motivo per cui i limiti si fanno separati.

Orizzontale: per $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$ e $e^{1/x} \to 1$, quindi $f(x)$ si comporta come $x$ e tende a $\pm\infty$. Nessun orizzontale, si passa all'obliquo.

L'ultimo passaggio è il limite notevole $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$, che trovi spiegato nella guida ai limiti notevoli per la Maturità. Asintoto obliquo $y = x + 1$ su entrambi i lati.

Riepilogo: asintoto verticale $x = 0$ solo da destra, nessun orizzontale, obliquo $y = x + 1$. Con queste tre informazioni e il segno della funzione, il grafico è già riconoscibile prima ancora di toccare la derivata.

Gli errori che vediamo più spesso a lezione

Correggendo verifiche di quinta e simulazioni di seconda prova, sono sei gli errori che tornano con più regolarità:

1. Il limite fatto da un lato solo. Si calcola $\lim_{x \to x_0}$ senza distinguere $x_0^-$ e $x_0^+$ e si scrive "$= \infty$" senza segno. Poi non si sa da che parte disegnare la curva, e nei casi come $x\,e^{1/x}$ si inventa un asintoto a sinistra che non esiste.
2. Punto escluso scambiato per asintoto. $\frac{x+2}{x^2-4}$ dichiarata con due asintoti verticali. In $-2$ c'è un buco. Il controllo è sostituire $x_0$ anche al numeratore: se viene zero, si scompone prima di concludere.
3. Verticale scritto come $y = \ldots$ Un asintoto verticale è una retta verticale, e la sua equazione è $x = x_0$. "Asintoto verticale $y = 2$" è un errore di forma che alcuni commissari sanzionano, e che rivela di non aver visualizzato la retta.
4. Obliquo cercato dove c'è l'orizzontale, o dimenticato dove serve. Se $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ è finito, a destra l'obliquo non esiste: $m$ e $q$ non vanno nemmeno calcolati. Se invece il limite è infinito e, nelle razionali, il numeratore supera il denominatore di esattamente un grado, l'obliquo va cercato. Saltarlo lascia il grafico senza guida proprio dove serve.
5. Il segno nel numeratore di $q$. Calcolare $f(x) - mx$ significa sottrarre un polinomio intero: il meno va distribuito su ogni termine. È l'errore che trasforma $y = 2x + 5$ in $y = 2x + 1$. Nel dubbio, fai la divisione tra polinomi e confronta i risultati.
6. Un solo infinito controllato. Per $e^x$, $\arctan x$, e per le funzioni con radici o valori assoluti, i due lati possono dare risultati diversi. Il limite va calcolato per $+\infty$ e per $-\infty$, sempre, anche quando l'esercizio sembra simmetrico.

Dagli asintoti al grafico completo

Dominio, segno e asintoti sono la prima bozza del grafico: prima ancora di derivare sai già in quali regioni del piano vive la curva e verso quali rette si allunga. È il motivo per cui nello studio di funzione conviene disegnare le rette tratteggiate subito, prima di passare alla derivata — se poi il segno di $f'$ ti manda la curva contro un asintoto verticale dalla parte sbagliata, l'errore salta fuori da solo. Gli stessi limiti all'infinito ricompaiono, identici, nei quesiti di analisi dei test d'ingresso di area scientifica e nel primo esame di Analisi all'università: se stai già guardando oltre la Maturità, dai un'occhiata ai nostri percorsi di preparazione.

Se invece lo studio di funzione ti sembra un elenco di passaggi senza logica, di solito il problema sta a monte, nei limiti o nell'algebra delle frazioni, e va ricostruito da lì: parlaci della tua situazione e prenota la tua prima lezione con un tutor che riparte dal punto in cui il filo si è interrotto.

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