Derivate: tutte le regole con esempi svolti e quando usarle

Le derivate non si sbagliano quasi mai per le formule: si sbagliano nel decidere quale formula applicare, e in quale ordine. Nei nostri corsi lo vediamo ogni anno tra quarta e quinta: lo studente conosce a memoria $D[\sin x] = \cos x$, poi davanti a $\sin(3x^2)$ deriva solo il "fuori" e perde il fattore $6x$. Questa guida mette in fila tutto — tabella delle elementari, le quattro regole, quando usare ciascuna, esempi con i numeri — e chiude con gli errori che correggiamo più spesso in lezione.

Quali sono le derivate delle funzioni elementari?

Prima delle regole servono i mattoni: le derivate delle funzioni elementari. Sono queste, e vanno sapute senza esitazione, perché ogni esercizio le usa come ingredienti.

Un dettaglio che a lezione ripetiamo spesso: $\sqrt{x}$ e $\frac{1}{x}$ non sono casi speciali da imparare a parte. Sono la regola della potenza applicata a $n = \frac{1}{2}$ e $n = -1$. Chi le vede così ricava al volo anche $\frac{1}{x^2} \to -\frac{2}{x^3}$ o $\sqrt[3]{x} \to \frac{1}{3}x^{-2/3}$, senza formulari extra.

E se ti chiedi da dove escono queste formule: $D[\sin x] = \cos x$ si dimostra proprio con il limite notevole $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — se vuoi rivederlo, ne parliamo nella guida ai limiti notevoli per la Maturità.

Come funzionano le quattro regole di derivazione?

Somma e differenza. La derivata di una somma è la somma delle derivate:

e le costanti moltiplicative escono dalla derivata: $D[k \cdot f(x)] = k \cdot f'(x)$. Insieme, queste due proprietà ti permettono di derivare qualunque polinomio termine a termine.

Prodotto (regola di Leibniz). Quando due funzioni che contengono entrambe la $x$ sono moltiplicate tra loro:

"Derivo il primo per il secondo intatto, più il primo intatto per la derivata del secondo." Qui l'ordine non conta: la somma è simmetrica.

Quoziente. Per una frazione con la $x$ sia sopra sia sotto:

Qui invece l'ordine al numeratore conta eccome: prima la derivata del numeratore per il denominatore, poi il meno. Invertire i due termini cambia il segno di tutto il risultato.

Funzione composta (regola della catena). Quando una funzione sta "dentro" un'altra, cioè $f(g(x))$:

In pratica: derivi la funzione esterna lasciando l'argomento intatto, poi moltiplichi per la derivata dell'argomento. Quel secondo fattore — la derivata del "dentro" — è il pezzo che gli studenti dimenticano più di ogni altra cosa, e ci torniamo tra poco.

Quale regola devo usare? La tabella decisionale

Il vero lavoro non è ricordare le formule ma classificare la funzione a colpo d'occhio. Il test più affidabile è leggere la funzione ad alta voce: se dici "seno di...", "e elevato a...", "radice di..." e quello che segue non è la sola $x$, hai una funzione composta.

Quattro esempi svolti, con i numeri

Polinomio con radice e potenza negativa

Nessun prodotto, nessuna composta: riscriviamo tutto come potenze, $f(x) = 3x^4 - 2x^{1/2} + 5x^{-1}$, e deriviamo termine a termine:

Verifica rapida in un punto: $f'(1) = 12 - 1 - 5 = 6$. Abituarsi a controllare la derivata in un valore comodo è un salvavita nei compiti in classe.

Regola del quoziente

La $x$ compare sopra e sotto: quoziente. Numeratore: $f' = 2x$; denominatore: $g' = 2$.

Se avessimo invertito l'ordine al numeratore avremmo ottenuto $\frac{-2x^2+6x+2}{(2x-3)^2}$: stesso valore assoluto, segno opposto ovunque. In uno studio di funzione significa scambiare gli intervalli di crescenza e decrescenza — l'intero grafico viene sbagliato per un ordine invertito.

Regola della catena

Leggiamola ad alta voce: "seno di $3x^2$" — composta. Fuori: il seno, che derivato dà coseno dello stesso argomento. Dentro: $3x^2$, che derivato dà $6x$.

Scrivere solo $\cos(3x^2)$ è l'errore singolo più frequente che vediamo su questo argomento: la derivata del "dentro" non è opzionale.

Prodotto e catena insieme — il caso che frega quasi tutti

Due fattori con la $x$: serve il prodotto. Ma il secondo fattore è a sua volta composto ($\sin$ di $3x$), quindi nel derivarlo serve anche la catena:

Le due trappole classiche qui: dimenticare il fattore $3$ dentro il prodotto, oppure "fondere" le regole e scrivere direttamente $2x \cdot 3\cos(3x)$, derivando entrambi i fattori insieme. Le regole si applicano una alla volta, dall'esterno verso l'interno.

Serve sempre la regola del quoziente?

No, e usarla quando non serve è una fonte di errori evitabili. Se al numeratore c'è una costante, la frazione è una potenza travestita:

Una riga, contro le quattro della regola del quoziente (con relativo rischio di sbagliare un segno). Stessa cosa per $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ o $\frac{3}{2x} = \frac{3}{2}x^{-1}$. La regola pratica che diamo ai nostri studenti: il quoziente si usa solo quando la $x$ è davvero sia sopra sia sotto; in tutti gli altri casi, riscrivi come potenza e vai di formula elementare.

Gli errori che vediamo più spesso a lezione

Correggendo verifiche di quarta e simulazioni di seconda prova, sono cinque gli errori che ritornano con più regolarità:

1. Il moltiplicatore della catena dimenticato. $D[e^{x^2}]$ scritto $e^{x^2}$ anziché $2x\,e^{x^2}$; $D[\sin 3x]$ scritto $\cos 3x$ anziché $3\cos 3x$. È l'errore n.1 in assoluto, e il più subdolo: il risultato sembra una derivata legittima, quindi chi rilegge non lo becca.
2. L'ordine invertito nel quoziente. Il numeratore è $f'g - fg'$, in quest'ordine. Invertirlo produce il risultato con segno opposto — e nello studio di funzione tutta l'analisi di crescenza va al contrario, come nell'esempio di $\frac{x^2+1}{2x-3}$ visto sopra.
3. Il prodotto derivato "fattore per fattore". $D[x^2 \ln x] = 2x \cdot \frac{1}{x} = 2$: elegante, pulito, sbagliato. La regola di Leibniz dà $2x\ln x + x$. Il fatto che il risultato errato venga così semplice lo rende ancora più insidioso.
4. Costanti trattate come variabili. $D[\ln 3] = \frac{1}{3}$ e $D[e^2] = 2e$ sono errori che vediamo anche in quinta: $\ln 3$, $e^2$, $\pi^2$ sono numeri, e la derivata di un numero è $0$.
5. Il segno perso con le potenze negative. $D\!\left[\frac{5}{x}\right] = \frac{5}{x^2}$ senza il meno: chi lo scrive ha applicato $n\,x^{n-1}$ dimenticando che qui $n = -1$, e il coefficiente diventa negativo. Il risultato corretto è $-\frac{5}{x^2}$.

Dalle derivate alla Maturità (e oltre)

Le derivate sono il cuore dello studio di funzione, che a sua volta è il piatto forte della seconda prova del liceo scientifico: massimi, minimi, flessi, monotonia passano tutti da una $f'$ calcolata correttamente. E non finisce con l'esame: le stesse regole, identiche, ti aspettano nei quesiti di analisi dei test d'ingresso e nel primo esame di Analisi all'università — chi le automatizza ora arriva al primo anno con un vantaggio concreto. Se stai già ragionando sui test d'ingresso, dai un'occhiata ai nostri percorsi di preparazione.

Per fissarle davvero funziona la stessa ricetta dei limiti: pochi minuti di "derivate lampo" a inizio lezione, mescolando i quattro tipi, finché la classificazione S/P/Q/C diventa istintiva. Se invece senti che le lacune partono da più lontano — algebra delle potenze, funzioni, limiti — un tutor dedicato può costruirti un piano sulle settimane che hai davanti: parlaci della tua situazione e prenota la tua prima lezione.

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