Dérivées : toutes les règles avec exemples corrigés et quand les utiliser

On se trompe rarement sur les formules de dérivation : on se trompe en décidant quelle formule appliquer, et dans quel ordre. Dans nos cours, nous le voyons chaque année en quatrième et cinquième année de lycée : l'élève connaît par cœur $D[\sin x] = \cos x$, puis devant $\sin(3x^2)$ il ne dérive que « l'extérieur » et perd le facteur $6x$. Ce guide met tout en ordre — tableau des dérivées usuelles, les quatre règles, quand utiliser chacune, des exemples avec les nombres — et se termine par les erreurs que nous corrigeons le plus souvent en cours.

Quelles sont les dérivées des fonctions usuelles ?

Avant les règles, il faut les briques : les dérivées des fonctions usuelles. Les voici, et elles doivent être sues sans hésitation, parce que chaque exercice les utilise comme ingrédients.

Un détail que nous répétons souvent en cours : $\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}$ ne sont pas des cas particuliers à apprendre à part. C'est la règle de la puissance appliquée à $n = \frac{1}{2}$ et à $n = -1$. Qui les voit ainsi retrouve à la volée $\frac{1}{x^2} \to -\frac{2}{x^3}$ ou $\sqrt[3]{x} \to \frac{1}{3}x^{-2/3}$, sans formulaire supplémentaire.

Et si tu te demandes d'où sortent ces formules : $D[\sin x] = \cos x$ se démontre précisément avec la limite remarquable $\frac{\sin x}{x} \to 1$ — si tu veux la revoir, nous en parlons dans le guide des limites remarquables pour la Maturità.

Comment fonctionnent les quatre règles de dérivation ?

Somme et différence. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

et les constantes multiplicatives sortent de la dérivée : $D[k \cdot f(x)] = k \cdot f'(x)$. Ensemble, ces deux propriétés te permettent de dériver n'importe quel polynôme terme à terme.

Produit (règle de Leibniz). Quand deux fonctions contenant toutes les deux la $x$ sont multipliées entre elles :

« Je dérive le premier fois le second intact, plus le premier intact fois la dérivée du second. » Ici l'ordre ne compte pas : la somme est symétrique.

Quotient. Pour une fraction avec la $x$ au numérateur et au dénominateur :

Ici en revanche l'ordre au numérateur compte, et beaucoup : d'abord la dérivée du numérateur fois le dénominateur, puis le moins. Intervertir les deux termes change le signe de tout le résultat.

Fonction composée (règle de la chaîne). Quand une fonction se trouve « à l'intérieur » d'une autre, c'est-à-dire $f(g(x))$ :

Concrètement : tu dérives la fonction extérieure en laissant l'argument intact, puis tu multiplies par la dérivée de l'argument. Ce second facteur — la dérivée de « l'intérieur » — est le morceau que les élèves oublient plus que tout autre, et nous y revenons dans un instant.

Quelle règle utiliser ? Le tableau de décision

Le vrai travail n'est pas de retenir les formules, mais de classer la fonction d'un coup d'œil. Le test le plus fiable consiste à lire la fonction à voix haute : si tu dis « sinus de… », « e élevé à… », « racine de… » et que ce qui suit n'est pas la seule $x$, tu as une fonction composée.

Quatre exemples corrigés, avec les nombres

Polynôme avec racine et puissance négative

Aucun produit, aucune composée : nous réécrivons tout en puissances, $f(x) = 3x^4 - 2x^{1/2} + 5x^{-1}$, et nous dérivons terme à terme :

Vérification rapide en un point : $f'(1) = 12 - 1 - 5 = 6$. Prendre l'habitude de contrôler la dérivée en une valeur commode sauve la mise pendant les contrôles.

Règle du quotient

La $x$ apparaît en haut et en bas : quotient. Numérateur : $f' = 2x$ ; dénominateur : $g' = 2$.

Si nous avions interverti l'ordre au numérateur, nous aurions obtenu $\frac{-2x^2+6x+2}{(2x-3)^2}$ : même valeur absolue, signe opposé partout. Dans une étude de fonction, cela revient à échanger les intervalles de croissance et de décroissance — la courbe entière est fausse pour un ordre inversé.

Règle de la chaîne

Lisons-la à voix haute : « sinus de $3x^2$ » — composée. À l'extérieur : le sinus, dont la dérivée est le cosinus du même argument. À l'intérieur : $3x^2$, dont la dérivée est $6x$.

Écrire seulement $\cos(3x^2)$ est l'erreur isolée la plus fréquente que nous voyons sur ce chapitre : la dérivée de « l'intérieur » n'est pas facultative.

Produit et chaîne ensemble — le cas qui piège presque tout le monde

Deux facteurs avec la $x$ : il faut le produit. Mais le second facteur est lui-même composé ($\sin$ de $3x$), donc pour le dériver il faut aussi la chaîne :

Les deux pièges classiques ici : oublier le facteur $3$ à l'intérieur du produit, ou « fusionner » les règles et écrire directement $2x \cdot 3\cos(3x)$, en dérivant les deux facteurs ensemble. Les règles s'appliquent une à la fois, de l'extérieur vers l'intérieur.

Faut-il toujours la règle du quotient ?

Non, et l'utiliser quand elle est inutile est une source d'erreurs évitables. Si le numérateur est une constante, la fraction est une puissance déguisée :

Une ligne, contre les quatre de la règle du quotient (avec le risque de rater un signe qui va avec). Même chose pour $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ ou $\frac{3}{2x} = \frac{3}{2}x^{-1}$. La règle pratique que nous donnons à nos élèves : le quotient ne s'utilise que lorsque la $x$ est vraiment en haut et en bas ; dans tous les autres cas, réécris en puissance et applique la formule usuelle.

Les erreurs que nous voyons le plus souvent en cours

En corrigeant des contrôles de quatrième année et des simulations de deuxième épreuve, cinq erreurs reviennent avec le plus de régularité :

1. Le multiplicateur de la chaîne oublié. $D[e^{x^2}]$ écrit $e^{x^2}$ au lieu de $2x\,e^{x^2}$ ; $D[\sin 3x]$ écrit $\cos 3x$ au lieu de $3\cos 3x$. C'est de loin l'erreur n° 1, et la plus sournoise : le résultat ressemble à une dérivée légitime, donc en relisant on ne la repère pas.
2. L'ordre inversé dans le quotient. Le numérateur est $f'g - fg'$, dans cet ordre. L'inverser produit le résultat avec le signe opposé — et dans une étude de fonction, toute l'analyse des variations part à l'envers, comme dans l'exemple de $\frac{x^2+1}{2x-3}$ vu plus haut.
3. Le produit dérivé « facteur par facteur ». $D[x^2 \ln x] = 2x \cdot \frac{1}{x} = 2$ : élégant, propre, faux. La règle de Leibniz donne $2x\ln x + x$. Que le résultat erroné tombe aussi juste le rend encore plus traître.
4. Des constantes traitées comme des variables. $D[\ln 3] = \frac{1}{3}$ et $D[e^2] = 2e$ sont des erreurs que nous voyons encore en cinquième année : $\ln 3$, $e^2$, $\pi^2$ sont des nombres, et la dérivée d'un nombre vaut $0$.
5. Le signe perdu avec les puissances négatives. $D\!\left[\frac{5}{x}\right] = \frac{5}{x^2}$ sans le moins : qui l'écrit a appliqué $n\,x^{n-1}$ en oubliant qu'ici $n = -1$, et que le coefficient devient donc négatif. Le résultat correct est $-\frac{5}{x^2}$.

Des dérivées à la Maturità (et au-delà)

Les dérivées sont le cœur de l'étude de fonction, qui est elle-même le plat de résistance de la deuxième épreuve du lycée scientifique : maximums, minimums, points d'inflexion, variations passent tous par une $f'$ calculée correctement. Et cela ne s'arrête pas à l'examen : les mêmes règles, à l'identique, t'attendent dans les questions d'analyse des tests d'admission et au premier examen d'Analyse à l'université — qui les automatise maintenant arrive en première année avec un avantage concret. Si tu réfléchis déjà aux tests d'admission, jette un œil à nos parcours de préparation.

Pour les ancrer vraiment, la même recette que pour les limites fonctionne : quelques minutes de « dérivées éclair » en début de cours, en mélangeant les quatre types, jusqu'à ce que le classement S/P/Q/C devienne instinctif. Si en revanche tu sens que les lacunes partent de plus loin — algèbre des puissances, fonctions, limites — un tuteur dédié peut te construire un plan sur les semaines qui te restent : parle-nous de ta situation et réserve ton premier cours.

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