Asymptotes verticales, horizontales et obliques : comment les trouver avec les limites

Dans une étude de fonction, les asymptotes valent plus que les points qu'elles rapportent : elles sont le squelette du graphe. Si tu te trompes, la courbe que tu traces à la fin est fausse même si dérivée, maximums et points d'inflexion sont parfaits. Dans nos cours de dernière année de lycée, nous voyons que presque personne ne se trompe dans le calcul de la limite lui-même : on se trompe avant, en décidant quelles limites calculer, ou après, en lisant le résultat. Ce guide met en ordre les trois types, la méthode pour chacun, quatre exemples avec les nombres et les erreurs que nous corrigeons le plus souvent.

Qu'est-ce qu'une asymptote et pourquoi compte-t-elle dans une étude de fonction ?

Une asymptote est une droite dont le graphe se rapproche de plus en plus à mesure que l'on se déplace le long de la courbe : vers un point où la fonction « explose », ou bien vers l'infini. Il en existe trois types — verticale $x = x_0$, horizontale $y = L$, oblique $y = mx + q$ — et tous les trois se découvrent avec une limite. C'est la raison pour laquelle le chapitre sur les limites vient avant celui-ci : si tu as besoin d'une révision, notre guide des limites pour la Maturità part de zéro.

Dans le problème d'analyse de la deuxième épreuve, après le domaine et le signe, les asymptotes sont le premier morceau de graphe que tu peux dessiner : tu traces les droites en pointillés et la courbe doit s'y encastrer. C'est pourquoi une asymptote manquée ou fausse ne coûte pas un demi-point : elle déplace le dessin tout entier. Un détail utile pour s'orienter : une fonction peut avoir une infinité d'asymptotes verticales ($\tan x$ en a une en chaque $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$), mais au maximum deux entre horizontales et obliques, une pour chaque côté.

Comment trouve-t-on une asymptote verticale ?

La méthode comporte trois étapes. Premièrement : on calcule le domaine, parce que les candidats sont les points exclus et les bords finis — les zéros du dénominateur, le point où l'argument d'un logarithme s'annule. Deuxièmement : en chaque candidat $x_0$, on calcule la limite à droite et la limite à gauche, séparément. Troisièmement : si au moins l'une des deux vaut $\pm\infty$, la droite $x = x_0$ est une asymptote verticale.

Prenons $f(x) = \dfrac{3x-1}{2x+5}$. Domaine : $2x + 5 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq -\frac{5}{2}$. En $x_0 = -\frac{5}{2}$, le numérateur vaut $3 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) - 1 = -\frac{17}{2}$, un nombre différent de zéro, tandis que le dénominateur tend vers $0$ : la limite est infinie, il reste à en établir le signe.

Pour le signe du dénominateur, une valeur test suffit : à droite de $-2{,}5$, par exemple en $x = -2{,}4$, on a $2x + 5 = 0{,}2 > 0$ ; à gauche, en $x = -2{,}6$, cela vaut $-0{,}2 < 0$. Asymptote verticale $x = -\frac{5}{2}$, avec la courbe qui descend vers $-\infty$ en arrivant par la droite et monte vers $+\infty$ en arrivant par la gauche.

Les deux limites séparées servent à deux choses. Elles te disent de quel côté part la courbe, sans quoi le dessin est impossible. Et elles te protègent des cas où l'asymptote n'existe que d'un seul côté : $\ln x$ a l'asymptote $x = 0$ uniquement à droite, parce qu'à gauche elle n'est même pas définie, et nous verrons dans un instant une fonction qui explose à droite de $0$ et arrive tranquillement à l'origine par la gauche.

Maintenant, le cas piège. $f(x) = \dfrac{x+2}{x^2-4}$. Domaine : $x^2 - 4 \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq 2$ et $x \neq -2$. Deux candidats, mais des destins différents.

En $x = 2$, le numérateur vaut $4$ et le dénominateur tend vers $0$ ; $x^2 - 4$ est positif hors de l'intervalle $[-2, 2]$ et négatif à l'intérieur, donc :

Asymptote verticale $x = 2$. En $x = -2$, en revanche, numérateur et dénominateur tendent vers $0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$, dont on ne peut rien conclure. On factorise :

Limite finie : aucune asymptote. En $x = -2$, la fonction a un trou, une discontinuité apparente, au point $\left(-2, -\frac{1}{4}\right)$ : sur le graphe, on le marque par un point creux, pas par une droite en pointillés.

Comment trouve-t-on une asymptote horizontale ?

On calcule $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, l'une après l'autre. Si la limite est un nombre fini $L$, la droite $y = L$ est une asymptote horizontale de ce côté. Pour les fonctions rationnelles, le résultat ne dépend que des degrés : numérateur de degré plus petit, asymptote $y = 0$ ; degrés égaux, $y$ égal au rapport des coefficients dominants ; numérateur de degré plus grand, aucune asymptote horizontale (et l'on passe à la recherche de l'oblique).

Sur $f(x) = \dfrac{3x-1}{2x+5}$, les degrés sont égaux. En factorisant $x$ au numérateur et au dénominateur :

Asymptote horizontale $y = \frac{3}{2}$, des deux côtés. Sur $f(x) = \dfrac{x+2}{x^2-4}$, le numérateur est de degré $1$ contre $2$ : la limite vaut $0$ et l'asymptote est l'axe des $x$, $y = 0$. On le voit aussi sur la forme simplifiée $\frac{1}{x-2}$.

Les deux côtés peuvent ne pas coïncider. $\arctan x$ tend vers $\frac{\pi}{2}$ pour $x \to +\infty$ et vers $-\frac{\pi}{2}$ pour $x \to -\infty$ : deux asymptotes horizontales différentes. $e^x$ a l'asymptote $y = 0$ uniquement vers la gauche, tandis que vers la droite elle monte à l'infini sans aucune droite pour l'accompagner. Les fonctions rationnelles se comportent toujours de la même façon des deux côtés ; toutes les autres — exponentielles, arctangentes, racines, valeurs absolues — doivent être contrôlées côté par côté.

Un détail qui surprend toujours : le graphe peut traverser une asymptote horizontale. $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ a l'asymptote $y = 0$ et passe par l'origine, donc il la traverse en $x = 0$ ; $\dfrac{\sin x}{x}$ la traverse une infinité de fois. L'asymptote horizontale décrit où va la courbe à l'infini, pas un mur à distance finie. C'est l'asymptote verticale qui ne peut pas être traversée, parce qu'en $x_0$ la fonction n'est pas définie.

Quand l'asymptote oblique existe-t-elle et comment calcule-t-on $m$ et $q$ ?

L'asymptote oblique $y = mx + q$ ne se cherche que là où il n'y a pas d'asymptote horizontale, c'est-à-dire d'un côté où $f(x) \to \pm\infty$. Du même côté, horizontale et oblique s'excluent mutuellement : si tu as trouvé $y = \frac{3}{2}$ pour $x \to +\infty$, chercher aussi une oblique à droite est du temps perdu. Pour une fonction rationnelle, la condition est précise : degré du numérateur égal au degré du dénominateur plus un. Si l'écart est de deux degrés ou plus, la fonction part à l'infini comme une parabole ou plus vite encore, et aucune droite ne la suit.

Les formules sont au nombre de deux :

L'asymptote existe si les deux limites sont finies et si $m \neq 0$. Si $m$ vaut $0$, ou si $q$ est infini, la fonction croît sans droite pour la guider : c'est ce qui arrive à $\sqrt{x}$, à $\ln x$, à $x^2$.

Prenons $f(x) = \dfrac{2x^2+3x-1}{x-1}$. Degré $2$ en haut, $1$ en bas : candidate. Pour être complet, la verticale est $x = 1$ (numérateur $4$, donc $+\infty$ par la droite et $-\infty$ par la gauche) et l'horizontale n'existe pas, parce que la limite à l'infini est infinie.

Asymptote oblique $y = 2x + 5$, la même des deux côtés comme toujours pour les rationnelles.

L'étape où l'on perd des points, c'est le numérateur de $q$ : $-2x(x-1)$ vaut $-2x^2 + 2x$, et ce $+2x$ est le terme qui disparaît. Qui écrit $2x^2 + 3x - 1 - 2x^2 - 2x = x - 1$ obtient $q = 1$ et une asymptote $y = 2x + 1$ : la bonne droite déplacée de quatre unités vers le bas, et un graphe qui ne colle plus.

Il y a un chemin plus court et plus sûr, la division euclidienne. En divisant $2x^2 + 3x - 1$ par $x - 1$, on obtient le quotient $2x + 5$ et le reste $4$, c'est-à-dire

Le quotient est l'asymptote, le reste divisé par le diviseur est la partie qui tend vers zéro. Une seule ligne, avec une information en plus : $\frac{4}{x-1}$ est positif pour $x > 1$ et négatif pour $x < 1$, donc la courbe est au-dessus de la droite $y = 2x + 5$ à droite de l'asymptote verticale et au-dessous à gauche. Au moment de dessiner, cela te dit de quel côté de la droite en pointillés faire courir la courbe.

Un classique de deuxième épreuve, du début à la fin

$f(x) = x\,e^{1/x}$. Elle n'est pas rationnelle, donc pas de raccourci avec les degrés : on suit le schéma en entier.

Domaine : $x \neq 0$. Un seul candidat pour la verticale, deux directions vers l'infini.

Verticale, $x \to 0^+$ : $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc $e^{1/x} \to +\infty$. Le produit est une forme indéterminée $0 \cdot \infty$ ; en posant $t = \frac{1}{x}$, elle devient $\lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t} = +\infty$, parce que l'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance. Asymptote verticale $x = 0$, par la droite.

Verticale, $x \to 0^-$ : $\frac{1}{x} \to -\infty$, donc $e^{1/x} \to 0$, et le produit $x\,e^{1/x} \to 0$. Par la gauche, la courbe arrive à l'origine sans aucune asymptote. Même droite candidate, comportement opposé des deux côtés : c'est exactement la raison pour laquelle les limites se calculent séparément.

Horizontale : pour $x \to \pm\infty$, $\frac{1}{x} \to 0$ et $e^{1/x} \to 1$, donc $f(x)$ se comporte comme $x$ et tend vers $\pm\infty$. Aucune horizontale, on passe à l'oblique.

La dernière étape est la limite remarquable $\frac{e^t - 1}{t} \to 1$, que tu trouves expliquée dans le guide des limites remarquables pour la Maturità. Asymptote oblique $y = x + 1$ des deux côtés.

Récapitulatif : asymptote verticale $x = 0$ uniquement par la droite, aucune horizontale, oblique $y = x + 1$. Avec ces trois informations et le signe de la fonction, le graphe est déjà reconnaissable avant même d'avoir touché à la dérivée.

Les erreurs que nous voyons le plus souvent en cours

En corrigeant des contrôles de dernière année et des simulations de deuxième épreuve, six erreurs reviennent avec le plus de régularité :

1. La limite calculée d'un seul côté. On calcule $\lim_{x \to x_0}$ sans distinguer $x_0^-$ et $x_0^+$ et on écrit « $= \infty$ » sans le signe. Ensuite, on ne sait plus de quel côté dessiner la courbe, et dans les cas comme $x\,e^{1/x}$ on invente à gauche une asymptote qui n'existe pas.
2. Le point exclu pris pour une asymptote. $\frac{x+2}{x^2-4}$ déclarée avec deux asymptotes verticales. En $-2$, il y a un trou. Le contrôle consiste à remplacer $x_0$ dans le numérateur aussi : si cela donne zéro, on factorise avant de conclure.
3. La verticale écrite sous la forme $y = \ldots$ Une asymptote verticale est une droite verticale, et son équation est $x = x_0$. « Asymptote verticale $y = 2$ » est une erreur de forme que certains examinateurs sanctionnent, et qui révèle que la droite n'a pas été visualisée.
4. L'oblique cherchée là où il y a l'horizontale, ou oubliée là où elle sert. Si $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ est finie, l'oblique n'existe pas à droite : $m$ et $q$ ne doivent même pas être calculés. Si en revanche la limite est infinie et que, pour les rationnelles, le numérateur dépasse le dénominateur d'exactement un degré, l'oblique doit être cherchée. La sauter laisse le graphe sans guide précisément là où il en a le plus besoin.
5. Le signe dans le numérateur de $q$. Calculer $f(x) - mx$ signifie soustraire un polynôme entier : le moins doit être distribué sur chaque terme. C'est l'erreur qui transforme $y = 2x + 5$ en $y = 2x + 1$. Dans le doute, fais la division euclidienne et compare les résultats.
6. Un seul infini contrôlé. Pour $e^x$, $\arctan x$, et pour les fonctions avec des racines ou des valeurs absolues, les deux côtés peuvent donner des résultats différents. La limite doit être calculée pour $+\infty$ et pour $-\infty$, toujours, même quand l'exercice semble symétrique.

Des asymptotes au graphe complet

Domaine, signe et asymptotes sont la première ébauche du graphe : avant même de dériver, tu sais déjà dans quelles régions du plan vit la courbe et vers quelles droites elle s'allonge. C'est la raison pour laquelle, dans une étude de fonction, il vaut mieux tracer les droites en pointillés tout de suite, avant de passer à la dérivée — si ensuite le signe de $f'$ envoie la courbe contre une asymptote verticale du mauvais côté, l'erreur saute aux yeux toute seule. Les mêmes limites à l'infini reviennent, à l'identique, dans les questions d'analyse des tests d'admission scientifiques et au premier examen d'Analyse à l'université : si tu regardes déjà au-delà de la Maturità, jette un œil à nos parcours de préparation.

Si en revanche l'étude de fonction te semble une liste d'étapes sans logique, le problème vient d'ordinaire de plus loin, des limites ou de l'algèbre des fractions, et il faut reconstruire à partir de là : parle-nous de ta situation et réserve ton premier cours avec un tuteur qui repart du point où le fil s'est rompu.

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