Étude de fonction : la méthode pas à pas (et les erreurs qui coûtent des points)

L'étude de fonction est le moment où l'analyse de dernière année doit fonctionner tout ensemble : limites, dérivées, inéquations rationnelles, dans le bon ordre et sans qu'une erreur de la deuxième étape n'arrive intacte jusqu'à la septième. Elle apparaît presque chaque année à la deuxième épreuve, comme problème entier ou éclatée dans les questions courtes. En corrigeant contrôles et simulations, dans nos cours nous voyons que presque personne ne saute une étape : les points se perdent à l'intérieur des étapes, dans de petites erreurs qui se traînent jusqu'au graphe. Un $x = 1$ écrit à la place de $x = \pm 1$ dans le domaine fait disparaître une asymptote ; une limite sans signe rend le dessin impossible ; une dérivée avec le signe moins au mauvais endroit échange le maximum et le minimum. Ce guide parcourt la méthode en entier sur une seule fonction, $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$, et s'arrête à chaque étape sur le point exact où la note baisse.

Quelles sont les étapes de l'étude de fonction, et pourquoi l'ordre compte-t-il ?

Les étapes sont au nombre de sept : domaine ; symétries (fonction paire ou impaire) ; intersections avec les axes et signe ; limites aux bords du domaine, d'où les asymptotes ; dérivée première, pour la croissance, la décroissance, les maximums et les minimums ; dérivée seconde, pour la concavité et les points d'inflexion ; graphe. L'ordre n'est pas une convention de manuel. Le domaine dit où calculer les limites. Le signe dit de quel côté de l'axe $x$ la courbe s'approche de chaque asymptote. Les flèches de la dérivée première doivent coller avec les limites : un tronçon qui descend ne peut pas finir en $+\infty$. La concavité doit coller avec les maximums et les minimums : un minimum au milieu d'un tronçon concave n'existe pas. Chaque étape est un contrôle sur la précédente, mais seulement si tu le fais après.

La fonction sur laquelle nous travaillons est $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$. Elle est rationnelle, donc les calculs restent gérables, mais elle contient presque tous les pièges que nous voyons en contrôle : deux points exclus du domaine, une symétrie, une asymptote oblique, un point où la dérivée s'annule sans donner ni maximum ni minimum, un point d'inflexion à tangente horizontale et un changement de concavité qui n'est pas un point d'inflexion.

Étape 1 : comment calcule-t-on le domaine, et pourquoi faut-il le réécrire dans chaque tableau ?

Le domaine rassemble les conditions d'existence : dénominateurs différents de zéro, radicandes d'indice pair supérieurs ou égaux à zéro, arguments des logarithmes strictement positifs. S'il y a plus d'une condition, le domaine est leur intersection. Pour notre fonction, il n'y en a qu'une seule :

La première erreur, on la voit déjà ici, et elle n'est banale qu'en apparence : de $x^2 = 1$ on écrit $x = 1$ et rien d'autre. La moitié du domaine disparaît, et avec elle l'asymptote $x = -1$, une limite, un intervalle de monotonie. Celui qui la commet ne s'en aperçoit plus jusqu'au graphe, où la courbe passe tranquillement par $x = -1$ comme si la fonction y était définie.

La deuxième erreur est plus subtile et coûte plus cher : le domaine est calculé, écrit, puis oublié. Le tableau de signe n'a pas la double barre en $-1$ et en $1$ ; les intervalles de croissance sont écrits comme si la fonction existait partout ; le point d'inflexion est aussi cherché dans les points exclus. Le domaine est la première ligne de chaque tableau que tu écriras à partir de maintenant, pas un résultat à classer. Quand il y a deux conditions, l'erreur classique est l'union à la place de l'intersection : pour $\sqrt{x-1} + \ln(3-x)$, les conditions $x \geq 1$ et $x < 3$ donnent $[1, 3)$, pas « tout $\mathbb{R}$ » comme on le lit parfois.

Étape 2 : la fonction est-elle paire ou impaire, et comment l'exploiter ?

Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$, et le graphe est symétrique par rapport à l'axe $y$ ; elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$, et le graphe est symétrique par rapport à l'origine. Dans les deux cas, le domaine doit être symétrique par rapport à $0$, sinon la question n'a pas de sens : $\ln x$ n'est ni paire ni impaire parce qu'à gauche de $0$ elle n'existe pas. Notre domaine est symétrique, donc on calcule :

La fonction est impaire. À partir de maintenant, nous pourrions l'étudier seulement pour $x \geq 0$ et déduire le reste par symétrie centrale : à un minimum en $x_0$ correspond un maximum en $-x_0$ d'ordonnée opposée, à une limite $+\infty$ en $x_0^+$ correspond $-\infty$ en $-x_0^-$. En contrôle, c'est un vrai gain de temps, à condition d'écrire explicitement « la fonction est impaire, donc... » à chaque fois qu'on l'utilise.

Les erreurs, ici, sont au nombre de deux. La première est de déclarer la parité à l'œil : on voit $x^2$ au dénominateur et on écrit « paire », sans remarquer le $x^3$ au numérateur ; ou bien on calcule $(-x)^3 = x^3$, en perdant le signe de la puissance impaire. La seconde ne se voit qu'à la fin, et c'est la plus reconnaissable : la moitié droite du graphe est juste et la moitié gauche est retournée comme dans un miroir, avec deux minimums au lieu d'un maximum et d'un minimum. Une fonction impaire se fait tourner d'un demi-tour autour de l'origine, elle ne se reflète pas. Si tu n'es pas sûr, laisse tomber le raccourci et fais tous les calculs des deux côtés : cela coûte cinq minutes, pas des points.

Étape 3 : intersections avec les axes et signe de la fonction

L'intersection avec l'axe $y$ se trouve en calculant $f(0)$, si $0$ appartient au domaine : ici $f(0) = 0$, donc la courbe passe par l'origine. Les intersections avec l'axe $x$ sont les solutions de $f(x) = 0$, c'est-à-dire les zéros du numérateur qui se trouvent dans le domaine : $x^3 = 0$, de nouveau $x = 0$. Un seul point pour les deux axes.

Le signe s'étudie avec l'inéquation $f(x) > 0$, et pour une fonction rationnelle, cela signifie étudier séparément le numérateur et le dénominateur puis combiner les signes :

Sur l'intervalle $x < -1$, le numérateur est négatif et le dénominateur positif : $f < 0$. Entre $-1$ et $0$, négatif sur négatif : $f > 0$. Entre $0$ et $1$, positif sur négatif : $f < 0$. Au-delà de $1$, positif sur positif : $f > 0$. En résumé, la courbe est au-dessus de l'axe $x$ sur $(-1, 0)$ et sur $(1, +\infty)$, en dessous sur $(-\infty, -1)$ et sur $(0, 1)$. Cohérent avec le fait que la fonction est impaire : les régions s'échangent par rotation autour de l'origine.

L'erreur que nous corrigeons le plus souvent à cette étape est de faire passer le dénominateur de l'autre côté : de $\dfrac{x^3}{x^2-1} > 0$, on passe à $x^3 > x^2 - 1$, puis à une inéquation de degré trois qu'on ne sait pas résoudre. Multiplier par $x^2 - 1$ n'est licite que là où $x^2 - 1$ est positif ; là où il est négatif, le sens de l'inéquation s'inverse, et le tableau avec l'étude séparée des signes fait exactement ce travail à ta place. L'autre erreur est de lire le signe sur le seul numérateur, « positive pour $x > 0$ », ce qui est faux sur l'intervalle $(0, 1)$. Garde en tête le résultat de cette étape : dans un instant, les limites devront le confirmer, et si ce n'est pas le cas, l'un des deux calculs est faux.

Étape 4 : limites aux bords du domaine et asymptotes

Les bords du domaine sont les points où il faut calculer une limite : $-\infty$, $-1^-$, $-1^+$, $1^-$, $1^+$, $+\infty$. Six limites, une par ligne, et la ligne vide est presque toujours la même : $-\infty$, ou le côté gauche d'un point exclu. Comme la fonction est impaire, nous pouvons calculer les trois de droite et en déduire les autres.

En $x = 1$, le numérateur vaut $1$ et le dénominateur tend vers $0$ ; la limite est infinie et il reste à en établir le signe avec une valeur test. En $x = 1{,}1$, on a $x^2 - 1 = 0{,}21 > 0$ ; en $x = 0{,}9$, cela vaut $-0{,}19 < 0$.

Asymptote verticale $x = 1$. Par symétrie, $x = -1$ est une asymptote verticale, avec $-\infty$ en arrivant par la gauche et $+\infty$ en arrivant par la droite. Le contrôle croisé avec l'étape 3 : sur $(0, 1)$, la fonction est négative et descend en effet vers $-\infty$ ; sur $(1, +\infty)$, elle est positive et part de $+\infty$. Si le signe avait dit une chose et la limite le contraire, l'un des deux calculs serait à refaire, avant d'aller plus loin.

À l'infini, le numérateur est de degré $3$ et le dénominateur de degré $2$ : la limite est infinie, il n'y a pas d'asymptote horizontale et il y a une candidate oblique, parce que l'écart de degré est exactement de un. Le chemin le plus court est la division euclidienne : $x^3 = x \cdot (x^2 - 1) + x$, donc

Asymptote oblique $y = x$ des deux côtés. Le reste $\dfrac{x}{x^2-1}$ indique aussi de quel côté de la droite court la courbe : positif pour $x > 1$, donc au-dessus de la droite à droite ; négatif pour $x < -1$, donc en dessous à gauche. La méthode complète avec $m$ et $q$, le cas où le point exclu est un trou et non une asymptote, et les deux asymptotes horizontales différentes des fonctions non rationnelles se trouvent dans le guide des asymptotes verticales, horizontales et obliques ; si le problème vient d'avant, du calcul des limites, repars du guide des limites pour la Maturità.

L'erreur à signaler ici, parce qu'elle gâche toute la suite, c'est la limite écrite sans signe : « $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$ », une seule ligne pour les deux côtés. Avec ce résultat, le graphe ne peut pas être dessiné, parce que tu ne sais pas si la courbe monte ou descend en s'approchant de la droite, et on finit d'habitude par deviner au hasard.

Étape 5 : dérivée première, croissance et décroissance, maximums et minimums

La dérivée d'un quotient est $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, avec $u = x^3$ et $v = x^2 - 1$ :

Le dénominateur est un carré, positif sur tout le domaine, donc il n'entre pas dans le signe. Au numérateur, $x^2 \geq 0$, avec un zéro en $x = 0$ ; le signe de $f'$ est décidé par $x^2 - 3$, positif pour $x < -\sqrt{3}$ et $x > \sqrt{3}$, négatif entre les deux. En se rappelant qu'en $\pm 1$ la fonction n'existe pas :

• $f$ croît sur $(-\infty, -\sqrt{3})$ et sur $(\sqrt{3}, +\infty)$ ;
• $f$ décroît sur $(-\sqrt{3}, -1)$, sur $(-1, 1)$ et sur $(1, \sqrt{3})$.

En $x = -\sqrt{3}$, la dérivée passe de positive à négative : maximum relatif, avec $f(-\sqrt{3}) = \dfrac{-3\sqrt{3}}{3-1} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2{,}60$. En $x = \sqrt{3}$, elle passe de négative à positive : minimum relatif, $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60$. En $x = 0$, la dérivée s'annule mais reste négative des deux côtés : la tangente est horizontale, la fonction continue de décroître, et il n'y a ni maximum ni minimum. Ce qui se passe en ce point, c'est la dérivée seconde qui le dira.

C'est ici que se concentrent trois erreurs, et ce sont les plus coûteuses de toute l'étude.

La première est le signe dans la règle du quotient : qui écrit $x^3 \cdot 2x - 3x^2(x^2-1)$ au numérateur obtient un $f'$ de signe opposé, le maximum devient un minimum et vice versa, et le graphe final a un maximum sur un tronçon où la fonction monte vers $+\infty$. C'est une contradiction que les limites révèlent d'elles-mêmes, si l'on fait la comparaison après avoir rempli le tableau.

La deuxième est « $f'(x_0) = 0$, donc maximum ou minimum ». En $x = 0$, ce n'est pas vrai, et on ne le voit qu'au signe de $f'$ à gauche et à droite : sans changement de signe, il n'y a pas d'extremum. Dans les contrôles, nous lisons régulièrement « minimum en $x = 0$ », et celui qui l'écrit dessine ensuite une courbe qui remonte après l'origine, contre le signe et contre la limite en $1^-$.

La troisième est une erreur de forme, mais elle est sanctionnée : le maximum rapporté comme « $x = -\sqrt{3}$ » et rien d'autre, sans l'ordonnée. Un point de maximum a deux coordonnées, et sans $f(-\sqrt{3})$ on ne peut pas le placer sur le graphe. Pour les règles de dérivation, y compris celle du quotient avec toutes les étapes, il y a le guide des dérivées, règles et exemples corrigés.

Étape 6 : dérivée seconde, concavité et points d'inflexion

On dérive $f'$ sous la forme $\dfrac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2}$, de nouveau avec la règle du quotient, et on factorise $(x^2-1)$ au numérateur avant de développer quoi que ce soit :

Le facteur $x^2 + 3$ est toujours positif, le cube a le même signe que $x^2 - 1$, donc le signe de $f''$ est le produit du signe de $x$ par celui de $x^2 - 1$. Concavité vers le haut ($f'' > 0$) sur $(-1, 0)$ et sur $(1, +\infty)$ ; vers le bas sur $(-\infty, -1)$ et sur $(0, 1)$. En $x = 0$, la dérivée seconde s'annule et change de signe : point d'inflexion à l'origine, à tangente horizontale parce que $f'(0) = 0$. La courbe traverse l'origine en s'aplatissant, comme $y = x^3$. Les contrôles concordent : le minimum en $\sqrt{3}$ se trouve sur un tronçon à concavité vers le haut, le maximum en $-\sqrt{3}$ sur un tronçon à concavité vers le bas.

La première façon de perdre des points est arithmétique : dériver $f'$ sans l'avoir simplifiée, ou développer $(x^2-1)^4$ au dénominateur. La factorisation de $(x^2-1)$ abaisse le dénominateur au cube et réduit le numérateur à deux termes ; qui développe tout, en général, n'arrive pas au bas de la page.

La deuxième est conceptuelle, et nous la voyons dans presque toutes les études de fonction avec une asymptote verticale : « la dérivée seconde change de signe en $x = 1$, donc point d'inflexion en $x = 1$ ». Non. Un point d'inflexion est un point du graphe, et en $x = 1$ le graphe n'existe pas. La concavité peut changer à travers une asymptote verticale, et ici c'est le cas aux deux, sans qu'il y ait le moindre point d'inflexion. La même règle vaut à l'inverse : $f''(x_0) = 0$ sans changement de signe n'est pas un point d'inflexion — $y = x^4$ a $f''(0) = 0$ et présente un minimum à l'origine.

Étape 7 : comment dessine-t-on le graphe, et quels contrôles faire avant de rendre la copie

On part du squelette : les axes, les trois droites en pointillés $x = -1$, $x = 1$, $y = x$, et les trois points trouvés, l'origine, le maximum $\left(-\sqrt{3}, -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ et le minimum $\left(\sqrt{3}, \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$, avec un petit trait horizontal sur chacun pour rappeler la tangente. Puis les trois branches, une pour chaque morceau du domaine.

Pour $x < -1$, la courbe arrive de $-\infty$ sous la droite $y = x$, monte jusqu'au maximum en $-\sqrt{3}$ et redescend à $-\infty$ contre l'asymptote $x = -1$, restant toujours sous l'axe $x$ et avec la concavité vers le bas. Entre $-1$ et $1$, elle descend de $+\infty$, traverse l'origine avec une tangente horizontale en changeant de concavité, et plonge vers $-\infty$ contre $x = 1$ : un S allongé, positif à gauche de l'origine et négatif à droite. Pour $x > 1$, elle part de $+\infty$, descend jusqu'au minimum en $\sqrt{3}$ et remonte en se rapprochant de la droite $y = x$ par le haut, toujours au-dessus de l'axe $x$, avec la concavité vers le haut.

Avant de rendre la copie, le graphe doit être confronté à chaque tableau qui l'a produit, pas seulement regardé :

1. La courbe ne touche ni ne traverse jamais une asymptote verticale. Si deux branches se touchent en $x = \pm 1$, le domaine a été oublié.
2. Sur chaque intervalle, la courbe est du côté de l'axe $x$ indiqué par le tableau de signe.
3. Aux maximums et aux minimums, la tangente est horizontale, et de même au point d'inflexion à tangente horizontale : l'origine ne se traverse pas en diagonale.
4. Un minimum se trouve sur un tronçon à concavité vers le haut, un maximum sur un tronçon à concavité vers le bas. Si cela ne concorde pas, la dérivée seconde est fausse, ou le signe de la première.
5. Si la fonction est impaire, en faisant tourner la feuille d'un demi-tour, le graphe doit coïncider avec lui-même.

L'erreur de dessin la plus fréquente n'est pas conceptuelle mais d'échelle : le maximum à $-2{,}6$ finit à $-1$ et le minimum à $+2{,}6$ à $+1$, et le graphe, bien que « juste », n'est plus lisible ni comparable aux calculs. Avant de tracer, choisis l'unité de sorte que $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ et $2{,}6$ tiennent confortablement sur la feuille.

Où l'étude de fonction ressurgit-elle après la Maturità ?

Dans la section de mathématiques du TOLC-I — 20 questions en 50 minutes, un peu plus de deux minutes chacune — une étude complète est impossible, mais les étapes prises isolément, oui, et les questions vont les pêcher une par une : le domaine d'une fonction avec racine et logarithme, le signe d'une fraction, l'intervalle où une fonction croît, le bon graphe parmi quatre proposés. Qui a la méthode en main reconnaît, à la forme de la fonction, quelle étape est nécessaire et ne fait que celle-là ; qui l'a apprise comme une séquence à réciter part du domaine et n'a plus le temps de finir. Il en va de même pour les autres tests d'admission des filières d'ingénierie et d'économie.

À l'université, au premier examen d'Analyse, l'étude de fonction revient comme exercice à part entière, en général sur des fonctions avec valeur absolue, racines ou exponentielles, avec une étape supplémentaire à peine effleurée au lycée : l'étude de la dérivabilité aux points où $f'$ n'existe pas, avec points anguleux et points de rebroussement. La méthode de ce guide reste identique ; c'est la difficulté de l'algèbre qui change. Si tu regardes déjà au-delà de la Maturità, nos parcours de préparation aux tests d'admission travaillent exactement sur ce passage du problème long à la question de deux minutes.

Et si l'étude de fonction te semble encore une liste d'étapes à retenir par cœur, le problème se trouve d'habitude plus en amont — dans les inéquations rationnelles, dans les limites, dans le signe d'un produit — et il faut reconstruire à partir de là. Parle-nous de ta situation et réserve ton premier cours : nous repartons du point exact où la méthode s'est grippée, pas du début du programme.

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