Théorèmes de Rolle et Lagrange expliqués simplement : hypothèses, intuition et exemples corrigés

Sur Rolle et Lagrange, les élèves se trompent presque jamais sur l'énoncé : ils le connaissent par cœur. Ils se trompent sur l'exercice construit autour. Dans les contrôles de cinquième année que nous corrigeons, la consigne type est « vérifie si $f$ satisfait les hypothèses du théorème de Lagrange sur $[a,b]$ et, si oui, détermine les points $c$ ». Trois élèves sur quatre partent directement au calcul de $c$, en sautant la vérification des hypothèses — qui est exactement la partie que le professeur voulait voir. Tu trouveras ici les deux théorèmes avec l'idée géométrique derrière, la démonstration réduite à l'essentiel, des exemples avec les nombres et la liste des erreurs qui coûtent des points.

Que dit le théorème de Rolle ?

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$, dérivable sur l'intervalle ouvert $(a,b)$, avec $f(a) = f(b)$. Alors il existe au moins un point $c \in (a,b)$ tel que

L'idée est presque physique. Si tu pars d'une certaine hauteur et qu'après un moment tu te retrouves à la même hauteur, sans sauts ni angles, il y a forcément un endroit où tu as arrêté de monter pour commencer à descendre (ou l'inverse). En ce point, la tangente est horizontale : la dérivée vaut zéro.

La démonstration est plus courte que ce que le manuel laisse penser. Par le théorème de Weierstrass, $f$ continue sur un intervalle fermé admet un maximum $M$ et un minimum $m$. Si $M = m$, la fonction est constante et $f'$ vaut zéro partout : n'importe quel $c$ convient. Sinon, au moins l'un des deux extrema est atteint en un point intérieur (s'ils étaient tous les deux aux bornes, où $f$ prend la même valeur, on aurait $M = m$). En un point intérieur de maximum ou de minimum où $f$ est dérivable, le théorème de Fermat dit que $f'(c) = 0$. C'est tout.

Exemple corrigé. $f(x) = x^2 - 4x + 3$ sur $[1,3]$. C'est un polynôme : continu et dérivable partout, hypothèses vérifiées. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ et $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$, donc $f(1) = f(3)$. Cherchons $c$ :

et $2 \in (1,3)$. C'est le sommet de la parabole, comme on pouvait s'y attendre.

Quand ça ne marche pas. $f(x) = |x|$ sur $[-1,1]$ : continue, $f(-1) = f(1) = 1$, mais non dérivable en $x = 0$, qui se trouve à l'intérieur de l'intervalle. En effet, $f'(x)$ vaut $-1$ à gauche et $+1$ à droite et ne s'annule jamais. Il suffit d'un point anguleux pour que le théorème saute — et avec lui la conclusion.

Que dit le théorème de Lagrange (ou théorème des accroissements finis) ?

Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$. Alors il existe au moins un $c \in (a,b)$ tel que

À droite, on a le taux d'accroissement : la pente de la corde qui relie les points $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$. À gauche, la pente de la tangente en $c$. Le théorème garantit qu'à un endroit, entre $a$ et $b$, la tangente est parallèle à la corde. Par rapport à Rolle, l'hypothèse $f(a) = f(b)$ est tombée : la corde n'est plus horizontale, mais inclinée.

Le nom « accroissements finis » vient de la lecture cinématique : si $f(t)$ est la distance parcourue au temps $t$, le taux d'accroissement est la vitesse moyenne entre $a$ et $b$, et $f'(c)$ est la vitesse instantanée. Le théorème dit qu'à au moins un instant tu as roulé exactement à ta vitesse moyenne. C'est le principe sur lequel repose le système Tutor sur autoroute, et si l'application t'intéresse, nous en avons parlé dans l'article sur le théorème de Lagrange et le contrôle de la vitesse.

Exemple corrigé. $f(x) = x^3$ sur $[0,2]$. Polynôme : hypothèses vérifiées. Le taux d'accroissement est

Posons $f'(x) = 3x^2 = 4$, d'où $x^2 = \frac{4}{3}$ et $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}155$. La solution négative ne se trouve pas dans $(0,2)$ et doit être écartée : le seul point de Lagrange est $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Écrire les deux racines comme réponse est une erreur que nous voyons dans un contrôle sur trois sur ce type d'exercice.

Un exemple qui met les hypothèses à l'épreuve. $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0,4]$. La fonction est continue sur $[0,4]$, mais en $x = 0$ elle n'est pas dérivable (la tangente est verticale). Le théorème s'applique-t-il quand même ? Oui : la dérivabilité n'est requise que sur l'intervalle ouvert $(0,4)$, et $0$ n'en fait pas partie. Le taux d'accroissement vaut $\frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$, et

Quel est le rapport entre le théorème de Rolle et celui de Lagrange ?

Ce sont le même théorème vu sous deux angles. Rolle est Lagrange dans le cas $f(a) = f(b)$ : le taux d'accroissement devient $\frac{0}{b-a} = 0$ et la thèse redevient $f'(c) = 0$. Mais le manuel démontre Lagrange à partir de Rolle, et c'est là que les élèves se perdent, parce qu'apparaît de nulle part une « fonction auxiliaire » sans que personne ne dise d'où elle vient.

Voici d'où elle vient : prends $f$ et soustrais-lui la corde. La corde est la droite passant par $(a, f(a))$ de pente $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, donc la fonction auxiliaire est

Maintenant $g$ mesure la distance verticale entre la courbe et la corde. Aux bornes, cette distance est nulle : $g(a) = f(a) - f(a) = 0$ et $g(b) = f(b) - f(a) - \big(f(b) - f(a)\big) = 0$. De plus, $g$ est continue et dérivable exactement là où l'est $f$, parce que nous lui avons retiré une droite. Donc $g$ satisfait les hypothèses de Rolle : il existe $c$ avec $g'(c) = 0$, c'est-à-dire

ce qui est la thèse de Lagrange. Quatre lignes. Ce qu'il faut retenir, ce n'est pas la formule de $g$ mais l'idée : Lagrange, c'est Rolle appliqué à « $f$ moins la corde ». Qui s'en souvient ainsi peut reconstruire la démonstration même lors d'une interrogation surprise. Le même truc, avec une fonction auxiliaire un peu plus élaborée, démontre le théorème de Cauchy, d'où découle ensuite la règle de L'Hôpital.

Comment vérifier si le théorème est applicable ?

C'est l'exercice standard, et les points sont presque toujours répartis entre la vérification des hypothèses et le calcul de $c$. Le protocole que nous faisons suivre à nos élèves comporte quatre étapes, toujours dans le même ordre :

1. Domaine. L'intervalle $[a,b]$ est-il entièrement dans le domaine de $f$ ? Si non, arrête-toi : le théorème ne s'applique pas.
2. Continuité sur $[a,b]$, fermé. Pour les polynômes, les exponentielles, le sinus et le cosinus, il suffit de le dire ; pour les fonctions définies par morceaux, il faut vérifier le point de raccordement avec les limites à droite et à gauche.
3. Dérivabilité sur $(a,b)$, ouvert. Ici aussi, dans les fonctions définies par morceaux, le point critique est le raccordement : les dérivées des deux expressions doivent y coïncider.
4. Seulement pour Rolle : $f(a) = f(b)$. Puis résous $f'(c) = 0$ ou $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et ne garde que les solutions intérieures à l'intervalle.

Si le calcul de la dérivée te ralentit, le guide des règles de dérivation avec exemples corrigés couvre tous les cas dont tu as besoin ici.

Exemple corrigé avec une fonction définie par morceaux. Vérifions Lagrange sur $[0,2]$ pour

Continuité en $x = 1$ : à gauche $1^2 = 1$, à droite $2 \cdot 1 - 1 = 1$, et $f(1) = 1$. Continue. Dérivabilité en $x = 1$ : à gauche $f'(x) = 2x \to 2$, à droite $f'(x) = 2$. Elles coïncident, donc $f$ est dérivable sur tout $(0,2)$. Hypothèses vérifiées. Taux d'accroissement : $f(2) = 3$, $f(0) = 0$, donc $\frac{3}{2}$. Cherchons $c$ morceau par morceau : sur $(0,1)$ résolvons $2x = \frac{3}{2}$, soit $x = \frac{3}{4}$, qui se trouve dans le bon intervalle ; sur $(1,2)$ on aurait $2 = \frac{3}{2}$, impossible. Le seul point est $c = \frac{3}{4}$.

Exemple où il ne s'applique pas. $f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[-1,2]$. Le zéro se trouve dans l'intervalle et $f$ n'y est même pas définie : la continuité tombe et le théorème n'est pas applicable. L'élève qui saute la vérification calcule le taux d'accroissement, $\frac{\frac{1}{2} - (-1)}{3} = \frac{1}{2}$, pose $-\frac{1}{c^2} = \frac{1}{2}$, ne trouve aucune solution et écrit « $c$ n'existe pas ». La conclusion est vraie par hasard, mais la réponse est fausse : la question portait sur les hypothèses, et l'exercice vaut zéro.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec Rolle et Lagrange ?

En corrigeant des contrôles et des simulations de deuxième épreuve, les erreurs se concentrent sur cinq points :

1. Hypothèses affirmées, non vérifiées. « $f$ est continue et dérivable » écrit sous une fonction définie par morceaux, sans regarder le raccordement. Pour un polynôme, la phrase suffit ; pour une fonction définie par morceaux, une valeur absolue ou une racine, non.
2. Fermé et ouvert intervertis. La continuité est requise sur $[a,b]$ fermé, la dérivabilité seulement sur $(a,b)$ ouvert. Qui affirme que $\sqrt{x}$ sur $[0,4]$ « ne respecte pas les hypothèses parce qu'elle n'est pas dérivable en $0$ » a inversé la parenthèse : $0$ est une borne, et aux bornes la dérivabilité n'est pas requise.
3. Rolle appliqué sans $f(a) = f(b)$, ou Lagrange rejeté parce que $f(a) \ne f(b)$. Ce sont deux théorèmes différents avec une hypothèse en plus d'un côté : la vérification des valeurs aux bornes doit toujours être faite, et écrite.
4. Des solutions hors intervalle conservées. Pour $x^3$ sur $[0,2]$, le $c = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ doit être écarté. La ligne « $c \in (a,b)$ ? » est la dernière du raisonnement et la plus souvent oubliée.
5. « Il existe un point » lu comme « il existe un seul point ». Le théorème dit au moins un. $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2,2]$ a un taux d'accroissement de $\frac{2 - (-2)}{4} = 1$, et $3x^2 - 3 = 1$ donne $x = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}155$ : tous deux intérieurs, tous deux à mentionner.

À quoi servent vraiment ces théorèmes ?

À soutenir la moitié du programme de cinquième année. Le critère que tu utilises chaque jour dans l'étude de fonction — « si $f' > 0$ alors $f$ croît » — n'est pas une évidence, c'est une conséquence de Lagrange : en prenant $x_1 < x_2$, il existe $c$ entre eux avec $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)\,(x_2 - x_1)$, et si $f'(c) > 0$ la différence est positive. De la même façon, « dérivée nulle sur un intervalle implique fonction constante » vient de là, et c'est la base du calcul intégral.

Il y a aussi un usage de « calculatrice à la main », qui apparaît dans les questions de la Maturità. Avec $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[25,26]$, Lagrange donne $\sqrt{26} - 5 = \frac{1}{2\sqrt{c}}$ pour un $c$ entre $25$ et $26$. Puisque $\sqrt{c}$ est compris entre $5$ et $\sqrt{26}$, la fraction est comprise entre $\frac{1}{2\sqrt{26}} \approx 0{,}098$ et $\frac{1}{10} = 0{,}1$, donc

La valeur exacte est $5{,}099$ : une estimation à deux décimales exactes sans calculatrice, avec un théorème et une ligne de calcul.

Rolle et Lagrange ne s'arrêtent pas à l'examen : la démonstration de Lagrange via Rolle fait partie de celles qui reviennent le plus régulièrement aux oraux d'Analyse 1 de première année, et qui arrive à l'université en sachant la reconstruire, et non la réciter par cœur, a un avantage concret. Si tu réfléchis déjà à l'entrée à l'université, nos parcours de préparation partent justement de la consolidation de ces bases.

Si en revanche le problème vient de plus loin — les dérivées sortent fausses, les fonctions définies par morceaux te mettent en difficulté, la vérification des hypothèses ressemble à un rituel sans queue ni tête — un tuteur dédié peut remettre les pièces en ordre en quelques semaines. Parle-nous de ta situation et réserve ton premier cours : nous commençons par un exercice comme ceux ci-dessus et nous voyons où ça coince.

FAQ