Lagrange et la vitesse : l'invention du radar tronçon

Les mathématiques au niveau pratique : au-delà des nombres

Le théorème de Lagrange est au cœur du fonctionnement du radar tronçon : il garantit mathématiquement que si la vitesse moyenne dépasse la limite, alors à au moins un instant la vitesse instantanée a atteint cette valeur. C'est un exemple parfait de la façon dont les mathématiques ont des applications concrètes dans la vie quotidienne.

Combien de fois, en feuilletant un livre de mathématiques, t'es-tu demandé : « À quoi me sert ce que je suis en train d'étudier ? » À l'école, on se retrouve souvent plongé dans des formules, des concepts et des théorèmes difficiles à comprendre ou à relier au réel. Bien souvent, on ne se rend pas compte à quel point les mathématiques peuvent être utiles et concrètes dans la vie de tous les jours.

Aujourd'hui, nous allons tenter de répondre à la question : « À quoi me servent les dérivées dans la vie ? » Certes, les dérivées sont un sujet avancé, abordé généralement vers la fin du parcours au lycée, mais leurs implications sont infinies et touchent tous les domaines de la science, de la biologie à la physique. Et comme nous le verrons, il est très probable que tu les aies déjà rencontrées, même sans t'en rendre compte.

La fascination des dérivées : l'ossature du calcul

Les dérivées sont l'un des concepts fondamentaux du calcul différentiel, une branche de l'analyse mathématique qui étudie les variations infinitésimales des fonctions à l'aide des limites, des dérivées et des intégrales. Le calcul différentiel est essentiel pour l'étude d'une fonction, car il permet d'analyser son comportement à l'intérieur de son ensemble de définition.

Le concept central du calcul différentiel est précisément la dérivée : elle représente le taux de variation instantané de la fonction par rapport à sa variable indépendante. Autrement dit, elle indique comment la fonction change lorsque la variable indépendante varie en un point donné. La dérivée d'une fonction peut aussi s'interpréter, géométriquement, comme la pente de la droite tangente au graphique de la fonction en un point précis.

Tout cela montre que les dérivées sont un outil fondamental pour comprendre le graphique d'une fonction, en mettant en évidence sa croissance et sa décroissance et, par conséquent, en identifiant ses points de maximum et de minimum.

Depuis leur introduction, les mathématiciens de l'époque ont passé des années à étudier en profondeur cette branche des mathématiques, jusqu'à formuler d'importants théorèmes sur les dérivées. Parmi eux figure assurément le théorème de Lagrange, qui doit son nom à celui qui l'a découvert, Joseph-Louis Lagrange. Lagrange, mathématicien et astronome italo-français, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle. Il étudia à Turin avant d'être appelé à la cour de Louis XVI et Marie-Antoinette à Paris, où il poursuivit sa carrière universitaire.

Le théorème de Lagrange énonce que, si l'on considère une fonction continue et dérivable (éventuellement à l'exclusion des extrémités) sur un intervalle [a,b] fermé et borné, il existe au moins un point c intérieur à cet intervalle en lequel l'équation suivante est vérifiée :

f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)

Le premier membre de l'équation du théorème de Lagrange représente le coefficient directeur m de la droite tangente au graphique de la fonction au point c. Le second membre de la relation représente quant à lui le taux d'accroissement de la fonction sur l'intervalle considéré, fournissant le coefficient directeur de la droite qui relie les points du graphique correspondant aux extrémités de cet intervalle.

D'un point de vue géométrique, cela signifie qu'il existe au moins un point où la droite tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite passant par les extrémités de l'intervalle considéré. Ces deux droites ont donc la même pente.

Ce théorème de Lagrange, d'une importance fondamentale dans le calcul différentiel, s'est révélé essentiel pour l'étude des notions de vitesse instantanée et d'accélération instantanée en physique. Il a en outre contribué de façon significative à la modélisation et à l'analyse du changement dans de nombreux phénomènes naturels et scientifiques.

Le Safety Tutor : l'évolution du contrôle de la vitesse

Le théorème de Lagrange trouve aussi des applications concrètes au quotidien, par exemple dans le contrôle de la vitesse au volant. Si tu n'as jamais entendu parler du Safety Tutor — le système italien de contrôle de la vitesse moyenne, l'équivalent du radar tronçon — tu en feras probablement l'expérience dès que tu obtiendras ton permis de conduire.

Le Safety Tutor est un système de contrôle de la vitesse, installé sur certains tronçons des autoroutes italiennes, qui permet de détecter si un véhicule a enfreint le code de la route en dépassant la limite de vitesse autorisée par la loi. Le système fonctionne grâce à l'installation de deux points de relevé, appelés portiques, qui marquent le début et la fin du tronçon contrôlé. Ces portiques sont équipés de capteurs infrarouges qui détectent le passage des véhicules. Chaque fois qu'un véhicule franchit les deux portiques, le système enregistre la date et l'heure exactes du passage. En tenant compte de la distance entre les deux points de relevé et du temps écoulé, le Tutor calcule la vitesse moyenne du véhicule sur ce tronçon d'autoroute. Si cette vitesse moyenne dépasse la limite autorisée, le système génère un signalement d'infraction.

Mais comment être sûr que le véhicule a effectivement dépassé la limite, alors que la seule donnée dont nous disposons est une vitesse moyenne ? C'est là qu'intervient le théorème de Lagrange !

Si l'on interprète notre fonction f(x) comme la loi horaire d'un corps en mouvement, où la variable y représente l'espace et x le temps mis à parcourir cet espace, alors le premier membre de l'équation représenterait la vitesse instantanée du corps à l'instant x, tandis que le taux d'accroissement exprimerait la vitesse moyenne maintenue sur l'intervalle [a,b]. Cette interprétation du théorème nous garantit l'existence d'au moins un instant, à l'intérieur de l'intervalle, où la vitesse instantanée du véhicule est égale à la vitesse moyenne maintenue sur tout le tronçon d'autoroute couvert par le Tutor. C'est pour cette raison que le théorème de Lagrange est aussi connu sous le nom de théorème des accroissements finis.

Ainsi, si la vitesse moyenne calculée est supérieure à la limite autorisée, il y aura forcément eu un instant où le véhicule aura atteint cette vitesse !

Il est important de souligner que les hypothèses d'un théorème sont essentielles à son application. Le présupposé selon lequel la fonction est continue et dérivable sur le tronçon d'autoroute considéré, par exemple, nous permet d'avoir la certitude qu'un véhicule poursuit son mouvement de façon continue le long du tronçon d'autoroute [a,b], sans pouvoir faire marche arrière d'un instant à l'autre, ce qui augmenterait inévitablement le temps de parcours total et diminuerait la vitesse moyenne relevée par le Tutor.

Les évolutions du contrôle de la vitesse : une analyse des 20 dernières années

Le système Safety Tutor a largement contribué à la baisse des accidents sur autoroute et, par conséquent, à l'amélioration de la sécurité routière. Désormais, les conducteurs doivent maintenir une vitesse correcte sur plusieurs kilomètres, et non plus seulement à l'approche des radars fixes.

Le Tutor autoroutier calcule la vitesse moyenne des véhicules sur le tronçon contrôlé : ainsi, même si un véhicule dépasse occasionnellement la limite de vitesse, il n'est pas nécessairement verbalisé, à moins que sa vitesse moyenne sur le tronçon ne dépasse la limite. Cela peut sembler injuste, surtout quand quelqu'un reçoit une amende pour un léger excès de vitesse, tandis qu'un autre conducteur, qui s'accorde une pause sur une aire d'autoroute, parvient à maintenir sa vitesse moyenne sous la limite malgré des pointes de vitesse supérieures.

Toutefois, l'objectif du Tutor n'est pas de « pincer » quiconque dépasse la limite de vitesse, mais plutôt de garantir une conduite plus sûre et un meilleur respect des limites sur des durées plus longues que le contrôle instantané des radars fixes. Grâce à ce système, on a enregistré une baisse des accidents sur autoroute et une hausse de la sécurité routière, puisque les conducteurs doivent désormais maintenir une vitesse correcte sur plusieurs kilomètres. Pour approfondir les dérivées et des théorèmes comme celui de Lagrange, les cours particuliers de maths offrent un parcours structuré.

De fait, les données montrent que le Tutor a effectivement entraîné une diminution progressive aussi bien de la vitesse de pointe (de 25 %) que de la vitesse moyenne (de 15 %), réduisant la mortalité de 51 % dès la première année d'installation et contribuant à une baisse du taux de mortalité de 75 % par rapport à 1999.

Il est important de préciser qu'en raison de litiges juridiques entre Autostrade per l'Italia et le titulaire du brevet du système Tutor, ce dispositif a été désactivé pendant environ deux ans, aux alentours de 2019. Pourtant, cela n'a pas entraîné de hausse des infractions ni de la mortalité durant la période de désactivation. Au contraire, on peut en déduire que le système Tutor a modifié le comportement des conducteurs, en décourageant la tendance à « foncer » sur l'autoroute. La sécurité sur le réseau autoroutier s'est améliorée au fil des ans, indépendamment du fonctionnement ou non du Tutor, ce qui démontre le bénéfice réel et durable que sa présence a apporté à la collectivité, ainsi que l'importance d'appliquer des concepts mathématiques à la vie réelle.

FAQ

Qu'est-ce que le théorème de Lagrange ?

Le théorème de Lagrange (ou des accroissements finis) énonce que, pour une fonction continue et dérivable sur un intervalle, il existe au moins un point où la dérivée (la vitesse instantanée) est égale au taux d'accroissement (la vitesse moyenne). Il est fondamental dans le calcul différentiel.

Comment fonctionne le radar tronçon (le « Tutor ») ?

Le Tutor mesure la vitesse moyenne d'un véhicule entre deux portiques. Si elle dépasse la limite, le théorème de Lagrange garantit qu'à au moins un instant le véhicule a atteint cette vitesse. Le système a réduit la mortalité de 51 % la première année.

Les dérivées ont-elles des applications pratiques dans la vie réelle ?

Oui, les dérivées ont une infinité d'applications : de la physique (vitesse et accélération) à l'économie (taux de variation), de la médecine (modèles de diffusion) à l'ingénierie. Le radar tronçon n'est que l'un des exemples les plus concrets.

Le système Tutor a-t-il été efficace pour réduire les accidents ?

Les données montrent que le Tutor a réduit la vitesse de pointe de 25 % et la vitesse moyenne de 15 %, avec une baisse de la mortalité de 75 % par rapport à 1999. Même après sa désactivation temporaire, les comportements des conducteurs sont restés plus prudents.