Studio di funzione: il metodo passo-passo (e gli errori che fanno perdere punti)

Lo studio di funzione è il punto in cui l'analisi di quinta deve funzionare tutta insieme: limiti, derivate, disequazioni fratte, nell'ordine giusto e senza che un errore del secondo passaggio arrivi intatto fino al settimo. In seconda prova compare quasi ogni anno, come problema intero o spezzato dentro i quesiti. Correggendo verifiche e simulazioni, nei nostri corsi vediamo che quasi nessuno salta un passaggio: i punti si perdono dentro i passaggi, in errori piccoli che si trascinano fino al grafico. Un $x = 1$ scritto al posto di $x = \pm 1$ nel dominio cancella un asintoto; un limite senza segno rende il disegno impossibile; una derivata con il meno al posto sbagliato scambia il massimo con il minimo. Questa guida percorre il metodo per intero su una sola funzione, $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$, e a ogni passo si ferma sul punto esatto in cui il voto scende.

Quali sono i passaggi dello studio di funzione, e perché l'ordine conta?

I passaggi sono sette: dominio; simmetrie (funzione pari o dispari); intersezioni con gli assi e segno; limiti agli estremi del dominio, da cui gli asintoti; derivata prima, per crescenza, decrescenza, massimi e minimi; derivata seconda, per concavità e flessi; grafico. L'ordine non è una convenzione del libro di testo. Il dominio dice dove calcolare i limiti. Il segno dice da che parte dell'asse $x$ la curva si avvicina a ogni asintoto. Le frecce della derivata prima devono tornare con i limiti: un tratto che scende non può finire in $+\infty$. La concavità deve tornare con massimi e minimi: un minimo dentro un tratto concavo non esiste. Ogni passaggio è un controllo su quello precedente, ma solo se lo fai dopo.

La funzione su cui lavoriamo è $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2-1}$. È razionale, quindi i calcoli restano gestibili, ma contiene quasi tutte le trappole che vediamo in verifica: due punti esclusi dal dominio, una simmetria, un asintoto obliquo, un punto in cui la derivata si annulla senza dare né massimo né minimo, un flesso a tangente orizzontale e un cambio di concavità che non è un flesso.

Passo 1: come si calcola il dominio, e perché va riscritto in ogni tabella?

Il dominio raccoglie le condizioni di esistenza: denominatori diversi da zero, radicandi di indice pari maggiori o uguali a zero, argomenti dei logaritmi strettamente positivi. Se le condizioni sono più di una, il dominio è la loro intersezione. Per la nostra funzione ce n'è una sola:

Il primo errore lo vediamo già qui, ed è banale solo in apparenza: da $x^2 = 1$ si scrive $x = 1$ e basta. Sparisce metà dominio, e con lei l'asintoto $x = -1$, un limite, un intervallo di monotonia. Chi lo commette non se ne accorge più fino al grafico, dove la curva passa tranquilla per $x = -1$ come se la funzione fosse definita lì.

Il secondo errore è più sottile e costa di più: il dominio viene calcolato, scritto, e poi dimenticato. La tabella del segno non ha la doppia sbarra in $-1$ e $1$; gli intervalli di crescenza sono scritti come se la funzione esistesse ovunque; il flesso viene cercato anche nei punti esclusi. Il dominio è la prima riga di ogni tabella che scriverai da qui in poi, non un risultato da archiviare. Quando le condizioni sono due, l'errore classico è l'unione al posto dell'intersezione: per $\sqrt{x-1} + \ln(3-x)$ le condizioni $x \geq 1$ e $x < 3$ danno $[1, 3)$, non "tutto $\mathbb{R}$" come capita di leggere.

Passo 2: la funzione è pari o dispari, e come si sfrutta?

Una funzione è pari se $f(-x) = f(x)$, e il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$; è dispari se $f(-x) = -f(x)$, e il grafico è simmetrico rispetto all'origine. In entrambi i casi il dominio deve essere simmetrico rispetto a $0$, altrimenti la domanda non ha senso: $\ln x$ non è né pari né dispari perché a sinistra di $0$ non esiste. Il nostro dominio è simmetrico, quindi si calcola:

La funzione è dispari. Da qui in poi potremmo studiarla solo per $x \geq 0$ e ricavare il resto per simmetria centrale: a un minimo in $x_0$ corrisponde un massimo in $-x_0$ con ordinata opposta, a un limite $+\infty$ in $x_0^+$ corrisponde $-\infty$ in $-x_0^-$. In verifica è un risparmio di tempo concreto, a patto di scrivere esplicitamente "la funzione è dispari, quindi..." ogni volta che si usa.

Gli errori, qui, sono due. Il primo è dichiarare la parità a occhio: si vede $x^2$ al denominatore e si scrive "pari", senza notare $x^3$ al numeratore; oppure si calcola $(-x)^3 = x^3$, perdendo il segno della potenza dispari. Il secondo si vede solo alla fine, ed è il più riconoscibile: la metà destra del grafico è giusta e la metà sinistra è ribaltata come in uno specchio, con due minimi invece di un massimo e un minimo. Una funzione dispari si ruota di mezzo giro attorno all'origine, non si riflette. Se non sei sicuro, lascia stare la scorciatoia e fai tutti i conti su entrambi i lati: costa cinque minuti, non punti.

Passo 3: intersezioni con gli assi e segno della funzione

L'intersezione con l'asse $y$ si trova calcolando $f(0)$, se $0$ appartiene al dominio: qui $f(0) = 0$, quindi la curva passa per l'origine. Le intersezioni con l'asse $x$ sono le soluzioni di $f(x) = 0$, cioè gli zeri del numeratore che stanno nel dominio: $x^3 = 0$, di nuovo $x = 0$. Un solo punto per entrambi gli assi.

Il segno si studia con la disequazione $f(x) > 0$, e per una funzione fratta questo significa studiare numeratore e denominatore separatamente e combinare i segni:

Sull'intervallo $x < -1$ il numeratore è negativo e il denominatore positivo: $f < 0$. Tra $-1$ e $0$, negativo su negativo: $f > 0$. Tra $0$ e $1$, positivo su negativo: $f < 0$. Oltre $1$, positivo su positivo: $f > 0$. Riassumendo, la curva sta sopra l'asse $x$ in $(-1, 0)$ e in $(1, +\infty)$, sotto in $(-\infty, -1)$ e in $(0, 1)$. Coerente con il fatto che la funzione è dispari: le regioni si scambiano ruotando attorno all'origine.

L'errore che correggiamo più spesso in questo passaggio è portare il denominatore dall'altra parte: da $\dfrac{x^3}{x^2-1} > 0$ si passa a $x^3 > x^2 - 1$, e da lì a una disequazione di terzo grado che non si sa risolvere. Moltiplicare per $x^2 - 1$ è lecito solo dove $x^2 - 1$ è positivo; dove è negativo il verso della disequazione si ribalta, e la tabella con lo studio separato dei segni fa esattamente questo lavoro al posto tuo. L'altro errore è leggere il segno dal solo numeratore, "positiva per $x > 0$", che sull'intervallo $(0, 1)$ è falso. Tieni a mente il risultato di questo passaggio: tra poco i limiti dovranno confermarlo, e se non lo fanno uno dei due è sbagliato.

Passo 4: limiti agli estremi del dominio e asintoti

Gli estremi del dominio sono i punti in cui va calcolato un limite: $-\infty$, $-1^-$, $-1^+$, $1^-$, $1^+$, $+\infty$. Sei limiti, uno per riga, e la riga vuota è quasi sempre la stessa: $-\infty$, oppure il lato sinistro di un punto escluso. Poiché la funzione è dispari possiamo calcolare i tre a destra e ricavare gli altri.

In $x = 1$ il numeratore vale $1$ e il denominatore tende a $0$; il limite è infinito e resta da stabilire il segno con un valore di prova. In $x = 1{,}1$ si ha $x^2 - 1 = 0{,}21 > 0$; in $x = 0{,}9$ vale $-0{,}19 < 0$.

Asintoto verticale $x = 1$. Per simmetria, $x = -1$ è asintoto verticale con $-\infty$ arrivando da sinistra e $+\infty$ arrivando da destra. Il controllo incrociato con il passo 3: in $(0, 1)$ la funzione è negativa e infatti scende a $-\infty$; in $(1, +\infty)$ è positiva e parte da $+\infty$. Se il segno avesse detto una cosa e il limite l'opposta, uno dei due conti sarebbe da rifare, prima di andare avanti.

All'infinito il numeratore ha grado $3$ e il denominatore grado $2$: il limite è infinito, non c'è asintoto orizzontale e c'è un candidato obliquo, perché la differenza di grado è esattamente uno. La strada più corta è la divisione tra polinomi: $x^3 = x \cdot (x^2 - 1) + x$, quindi

Asintoto obliquo $y = x$ su entrambi i lati. Il resto $\dfrac{x}{x^2-1}$ dice anche da che parte della retta corre la curva: positivo per $x > 1$, quindi sopra la retta a destra; negativo per $x < -1$, quindi sotto a sinistra. Il procedimento completo con $m$ e $q$, il caso in cui il punto escluso è un buco e non un asintoto, e i due asintoti orizzontali diversi delle funzioni non razionali sono nella guida agli asintoti verticali, orizzontali e obliqui; se il problema è a monte, nel calcolo dei limiti, riparti dalla guida ai limiti per la Maturità.

L'errore da segnalare qui, perché rovina tutto il seguito, è il limite scritto senza segno: "$\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$", una riga sola per due lati. Con quel risultato il grafico non si può disegnare, perché non sai se la curva sale o scende avvicinandosi alla retta, e di solito si finisce per tirare a indovinare.

Passo 5: derivata prima, crescenza e decrescenza, massimi e minimi

La derivata di un quoziente è $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, con $u = x^3$ e $v = x^2 - 1$:

Il denominatore è un quadrato, positivo su tutto il dominio, quindi non entra nel segno. Al numeratore $x^2 \geq 0$, con uno zero in $x = 0$; il segno di $f'$ è deciso da $x^2 - 3$, positivo per $x < -\sqrt{3}$ e $x > \sqrt{3}$, negativo in mezzo. Ricordando che in $\pm 1$ la funzione non esiste:

• $f$ cresce in $(-\infty, -\sqrt{3})$ e in $(\sqrt{3}, +\infty)$;
• $f$ decresce in $(-\sqrt{3}, -1)$, in $(-1, 1)$ e in $(1, \sqrt{3})$.

In $x = -\sqrt{3}$ la derivata passa da positiva a negativa: massimo relativo, con $f(-\sqrt{3}) = \dfrac{-3\sqrt{3}}{3-1} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx -2{,}60$. In $x = \sqrt{3}$ passa da negativa a positiva: minimo relativo, $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}60$. In $x = 0$ la derivata si annulla ma resta negativa da entrambe le parti: la tangente è orizzontale, la funzione continua a scendere, e non c'è né massimo né minimo. Che cosa succede in quel punto lo dirà la derivata seconda.

Qui si concentrano tre errori, e sono i più costosi dell'intero studio.

Il primo è il segno della regola del quoziente: chi scrive $x^3 \cdot 2x - 3x^2(x^2-1)$ al numeratore ottiene $f'$ con il segno opposto, il massimo diventa minimo e viceversa, e il grafico finale ha un massimo in un tratto dove la funzione sale verso $+\infty$. È una contraddizione che i limiti mostrano da soli, se dopo aver compilato la tabella si fa il confronto.

Il secondo è "$f'(x_0) = 0$, quindi massimo o minimo". In $x = 0$ non è vero, e lo si vede solo dal segno di $f'$ a sinistra e a destra: senza cambio di segno non c'è estremo. Nelle verifiche leggiamo "minimo in $x = 0$" con regolarità, e chi lo scrive poi disegna una curva che risale dopo l'origine, contro il segno e contro il limite in $1^-$.

Il terzo è di forma ma viene sanzionato: il massimo riportato come "$x = -\sqrt{3}$" e basta, senza l'ordinata. Un punto di massimo ha due coordinate, e senza $f(-\sqrt{3})$ non si può mettere sul grafico. Per le regole di derivazione, compresa quella del quoziente con tutti i passaggi, c'è la guida alle derivate con regole ed esempi.

Passo 6: derivata seconda, concavità e flessi

Si deriva $f'$ nella forma $\dfrac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2}$, di nuovo con la regola del quoziente, e si raccoglie $(x^2-1)$ al numeratore prima di sviluppare qualunque cosa:

Il fattore $x^2 + 3$ è sempre positivo, il cubo ha lo stesso segno di $x^2 - 1$, quindi il segno di $f''$ è il prodotto del segno di $x$ per quello di $x^2 - 1$. Concavità verso l'alto ($f'' > 0$) in $(-1, 0)$ e in $(1, +\infty)$; verso il basso in $(-\infty, -1)$ e in $(0, 1)$. In $x = 0$ la derivata seconda si annulla e cambia segno: flesso nell'origine, a tangente orizzontale perché $f'(0) = 0$. La curva attraversa l'origine appiattendosi, come $y = x^3$. I controlli tornano: il minimo in $\sqrt{3}$ sta in un tratto con la concavità verso l'alto, il massimo in $-\sqrt{3}$ in un tratto con la concavità verso il basso.

Il primo modo di perdere punti è aritmetico: derivare $f'$ senza averla semplificata, oppure sviluppare $(x^2-1)^4$ al denominatore. Il raccoglimento di $(x^2-1)$ abbassa il denominatore al cubo e riduce il numeratore a due termini; chi sviluppa tutto, di norma, non arriva in fondo alla pagina.

Il secondo è concettuale, e lo vediamo in quasi ogni studio di funzione con un asintoto verticale: "la derivata seconda cambia segno in $x = 1$, quindi flesso in $x = 1$". No. Un flesso è un punto del grafico, e in $x = 1$ il grafico non esiste. La concavità può cambiare attraverso un asintoto verticale, e qui lo fa in entrambi, senza che ci sia alcun flesso. La stessa regola vale al contrario: $f''(x_0) = 0$ senza cambio di segno non è un flesso — $y = x^4$ ha $f''(0) = 0$ e nell'origine ha un minimo.

Passo 7: come si disegna il grafico e quali controlli fare prima di consegnare

Si parte dallo scheletro: gli assi, le tre rette tratteggiate $x = -1$, $x = 1$, $y = x$, e i tre punti trovati, l'origine, il massimo $\left(-\sqrt{3}, -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ e il minimo $\left(\sqrt{3}, \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$, con un trattino orizzontale in ciascuno a ricordare la tangente. Poi i tre rami, uno per ogni pezzo del dominio.

Per $x < -1$ la curva arriva da $-\infty$ sotto la retta $y = x$, sale fino al massimo in $-\sqrt{3}$ e ridiscende a $-\infty$ contro l'asintoto $x = -1$, restando sempre sotto l'asse $x$ e con la concavità verso il basso. Tra $-1$ e $1$ scende da $+\infty$, attraversa l'origine con tangente orizzontale cambiando concavità, e precipita a $-\infty$ contro $x = 1$: una S allungata, positiva a sinistra dell'origine e negativa a destra. Per $x > 1$ parte da $+\infty$, scende al minimo in $\sqrt{3}$ e risale accostandosi alla retta $y = x$ dall'alto, sempre sopra l'asse $x$, con la concavità verso l'alto.

Prima di consegnare, il grafico va confrontato con ogni tabella che lo ha prodotto, non solo guardato:

1. La curva non tocca e non attraversa mai un asintoto verticale. Se due rami si toccano in $x = \pm 1$, il dominio è stato dimenticato.
2. In ogni intervallo la curva sta dalla parte dell'asse $x$ che dice la tabella del segno.
3. Nei massimi e nei minimi la tangente è orizzontale, e così nel flesso a tangente orizzontale: l'origine non si attraversa in diagonale.
4. Un minimo sta in un tratto con la concavità verso l'alto, un massimo in un tratto con la concavità verso il basso. Se non torna, è sbagliata la derivata seconda o il segno della prima.
5. Se la funzione è dispari, ruotando il foglio di mezzo giro il grafico deve coincidere con sé stesso.

L'errore di disegno più frequente non è di concetto ma di scala: il massimo a $-2{,}6$ finisce a $-1$ e il minimo a $+2{,}6$ a $+1$, e il grafico, pur "giusto", non è più leggibile né confrontabile con i conti. Prima di tracciare, scegli l'unità in modo che $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ e $2{,}6$ stiano comodi sul foglio.

Dove ricompare lo studio di funzione dopo la Maturità?

Nella sezione di matematica del TOLC-I — 20 quesiti in 50 minuti, poco più di due minuti l'uno — uno studio completo non si può fare, ma i singoli passaggi sì, e i quesiti li pescano uno per volta: il dominio di una funzione con radice e logaritmo, il segno di una fratta, l'intervallo in cui una funzione cresce, il grafico giusto tra quattro proposti. Chi ha il metodo in mano riconosce dalla forma della funzione quale passaggio serve e fa solo quello; chi lo ha imparato come una sequenza da recitare parte dal dominio e finisce il tempo. Lo stesso vale per gli altri test d'ingresso di area ingegneristica ed economica.

All'università, nel primo esame di Analisi, lo studio di funzione torna come esercizio a sé, di solito su funzioni con valore assoluto, radici o esponenziali, con un passaggio in più che al liceo si sfiora appena: lo studio della derivabilità nei punti in cui $f'$ non esiste, con punti angolosi e cuspidi. Il metodo di questa guida resta identico; cambia la difficoltà dell'algebra. Se stai già guardando oltre la Maturità, i nostri percorsi di preparazione ai test d'ingresso lavorano esattamente su questo passaggio dal problema lungo al quesito da due minuti.

E se lo studio di funzione ti sembra ancora un elenco di passaggi da ricordare a memoria, il problema di solito è più indietro — nelle disequazioni fratte, nei limiti, nel segno di un prodotto — e va ricostruito da lì. Parlaci della tua situazione e prenota la tua prima lezione: partiamo dal punto esatto in cui il metodo si è inceppato, non dall'inizio del programma.

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