Teoremi di Rolle e Lagrange spiegati semplici: ipotesi, intuizione ed esempi svolti

Su Rolle e Lagrange gli studenti non sbagliano quasi mai l'enunciato: lo sanno a memoria. Sbagliano l'esercizio che ci viene costruito sopra. Nelle verifiche di quinta che correggiamo, la traccia tipica è "verifica se $f$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange in $[a,b]$ e, in caso affermativo, determina i punti $c$". Tre studenti su quattro partono direttamente dal calcolo di $c$, saltando la verifica delle ipotesi — che è esattamente la parte che l'insegnante voleva vedere. Qui trovi i due teoremi con l'idea geometrica dietro, la dimostrazione ridotta all'osso, esempi con i numeri e la lista degli errori che costano punti.

Cosa dice il Teorema di Rolle?

Sia $f$ una funzione continua sull'intervallo chiuso $[a,b]$, derivabile nell'intervallo aperto $(a,b)$, con $f(a) = f(b)$. Allora esiste almeno un punto $c \in (a,b)$ tale che

L'idea è quasi fisica. Se parti da una certa altezza e dopo un tratto ti ritrovi alla stessa altezza, senza salti e senza spigoli, da qualche parte hai dovuto smettere di salire per cominciare a scendere (o viceversa). In quel punto la tangente è orizzontale: la derivata vale zero.

La dimostrazione è più corta di quanto il libro faccia sembrare. Per il teorema di Weierstrass, $f$ continua su un intervallo chiuso ha un massimo $M$ e un minimo $m$. Se $M = m$ la funzione è costante e $f'$ è zero ovunque: qualsiasi $c$ va bene. Altrimenti almeno uno dei due estremi è raggiunto in un punto interno (se fossero entrambi agli estremi, dove $f$ vale lo stesso, avremmo $M = m$). In un punto interno di massimo o minimo dove $f$ è derivabile, il teorema di Fermat dice che $f'(c) = 0$. Fine.

Esempio svolto. $f(x) = x^2 - 4x + 3$ su $[1,3]$. È un polinomio: continuo e derivabile ovunque, ipotesi a posto. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ e $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$, quindi $f(1) = f(3)$. Cerchiamo $c$:

e $2 \in (1,3)$. È il vertice della parabola, come ci si aspetta.

Quando non funziona. $f(x) = |x|$ su $[-1,1]$: continua, $f(-1) = f(1) = 1$, ma non derivabile in $x = 0$, che sta dentro l'intervallo. Infatti $f'(x)$ vale $-1$ a sinistra e $+1$ a destra e non si annulla mai. Basta un punto angoloso e il teorema salta — e con lui la conclusione.

Cosa dice il Teorema di Lagrange (o del valor medio)?

Sia $f$ continua su $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Allora esiste almeno un $c \in (a,b)$ tale che

A destra c'è il rapporto incrementale: la pendenza della corda che unisce i punti $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$. A sinistra, la pendenza della tangente in $c$. Il teorema garantisce che da qualche parte, tra $a$ e $b$, la tangente è parallela alla corda. Rispetto a Rolle è caduta l'ipotesi $f(a) = f(b)$: la corda non è più orizzontale, ma inclinata.

Il nome "valor medio" viene dalla lettura cinetica: se $f(t)$ è lo spazio percorso al tempo $t$, il rapporto incrementale è la velocità media tra $a$ e $b$ e $f'(c)$ è la velocità istantanea. Il teorema dice che in almeno un istante hai viaggiato esattamente alla tua velocità media. È il principio su cui si regge il Tutor in autostrada, e se ti interessa l'applicazione ne abbiamo parlato nell'articolo sul teorema di Lagrange e il controllo della velocità.

Esempio svolto. $f(x) = x^3$ su $[0,2]$. Polinomio: ipotesi verificate. Il rapporto incrementale è

Poniamo $f'(x) = 3x^2 = 4$, da cui $x^2 = \frac{4}{3}$ e $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}155$. La soluzione negativa non sta in $(0,2)$ e va scartata: l'unico punto di Lagrange è $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Scrivere entrambe le radici come risposta è un errore che vediamo in una verifica su tre su questo tipo di esercizio.

Un esempio che mette alla prova le ipotesi. $f(x) = \sqrt{x}$ su $[0,4]$. La funzione è continua su $[0,4]$, ma in $x = 0$ non è derivabile (la tangente è verticale). Il teorema si applica lo stesso? Sì: la derivabilità è richiesta solo nell'intervallo aperto $(0,4)$, e $0$ non ci sta. Il rapporto incrementale vale $\frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$, e

Che rapporto c'è tra il Teorema di Rolle e quello di Lagrange?

Sono lo stesso teorema visto da due angolazioni. Rolle è Lagrange nel caso $f(a) = f(b)$: il rapporto incrementale diventa $\frac{0}{b-a} = 0$ e la tesi torna $f'(c) = 0$. Ma il libro dimostra Lagrange usando Rolle, e qui gli studenti si perdono, perché compare dal nulla una "funzione ausiliaria" senza che nessuno dica da dove viene.

Viene da qui: prendi $f$ e sottraile la corda. La corda è la retta per $(a, f(a))$ con pendenza $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, quindi la funzione ausiliaria è

Adesso $g$ misura la distanza verticale tra la curva e la corda. Agli estremi questa distanza è zero: $g(a) = f(a) - f(a) = 0$ e $g(b) = f(b) - f(a) - \big(f(b) - f(a)\big) = 0$. Inoltre $g$ è continua e derivabile esattamente dove lo è $f$, perché le abbiamo tolto una retta. Quindi $g$ soddisfa le ipotesi di Rolle: esiste $c$ con $g'(c) = 0$, cioè

che è la tesi di Lagrange. Quattro righe. La cosa da portare a casa non è la formula di $g$ ma l'idea: Lagrange è Rolle applicato a "$f$ meno la corda". Chi la ricorda così ricostruisce la dimostrazione anche in un'interrogazione a sorpresa. Lo stesso trucco, con una funzione ausiliaria un po' più elaborata, dimostra il teorema di Cauchy, da cui poi discende la regola di De l'Hôpital.

Come si verifica se il teorema è applicabile?

È l'esercizio standard, e il punteggio è quasi sempre diviso tra la verifica delle ipotesi e il calcolo di $c$. Il protocollo che facciamo seguire ai nostri studenti è in quattro passi, sempre nello stesso ordine:

1. Dominio. L'intervallo $[a,b]$ è tutto dentro il dominio di $f$? Se no, fermati: il teorema non si applica.
2. Continuità su $[a,b]$, chiuso. Per polinomi, esponenziali, seno e coseno basta dirlo; per funzioni a tratti bisogna controllare il punto di raccordo con i limiti destro e sinistro.
3. Derivabilità in $(a,b)$, aperto. Anche qui, nelle funzioni a tratti il punto critico è il raccordo: le derivate delle due espressioni devono coincidere lì.
4. Solo per Rolle: $f(a) = f(b)$. Poi risolvi $f'(c) = 0$ oppure $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ e tieni soltanto le soluzioni interne all'intervallo.

Se il calcolo della derivata ti rallenta, la guida alle regole di derivazione con esempi svolti copre tutti i casi che servono qui.

Esempio svolto con funzione a tratti. Verifichiamo Lagrange su $[0,2]$ per

Continuità in $x = 1$: da sinistra $1^2 = 1$, da destra $2 \cdot 1 - 1 = 1$, e $f(1) = 1$. Continua. Derivabilità in $x = 1$: a sinistra $f'(x) = 2x \to 2$, a destra $f'(x) = 2$. Coincidono, quindi $f$ è derivabile in tutto $(0,2)$. Ipotesi verificate. Rapporto incrementale: $f(2) = 3$, $f(0) = 0$, quindi $\frac{3}{2}$. Cerchiamo $c$ tratto per tratto: in $(0,1)$ risolviamo $2x = \frac{3}{2}$, cioè $x = \frac{3}{4}$, che sta nell'intervallo giusto; in $(1,2)$ avremmo $2 = \frac{3}{2}$, impossibile. L'unico punto è $c = \frac{3}{4}$.

Esempio in cui non si applica. $f(x) = \frac{1}{x}$ su $[-1,2]$. Lo zero sta dentro l'intervallo e $f$ lì non è nemmeno definita: la continuità cade e il teorema non è applicabile. Lo studente che salta la verifica calcola il rapporto incrementale, $\frac{\frac{1}{2} - (-1)}{3} = \frac{1}{2}$, pone $-\frac{1}{c^2} = \frac{1}{2}$, non trova soluzioni e scrive "non esiste $c$". La conclusione è casualmente vera, ma la risposta è sbagliata: la domanda era sulle ipotesi, e l'esercizio vale zero.

Quali errori si fanno più spesso con Rolle e Lagrange?

Correggendo verifiche e simulazioni di seconda prova, gli errori si concentrano su cinque punti:

1. Ipotesi dichiarate, non verificate. "$f$ è continua e derivabile" scritto sotto una funzione a tratti, senza guardare il raccordo. Per un polinomio la frase basta; per una funzione a tratti, un valore assoluto o una radice, no.
2. Chiuso e aperto scambiati. La continuità serve su $[a,b]$ chiuso, la derivabilità solo su $(a,b)$ aperto. Chi dice che $\sqrt{x}$ su $[0,4]$ "non rispetta le ipotesi perché non è derivabile in $0$" ha invertito la parentesi: $0$ è un estremo, e negli estremi la derivabilità non è richiesta.
3. Rolle applicato senza $f(a) = f(b)$, o Lagrange rifiutato perché $f(a) \ne f(b)$. Sono due teoremi diversi con un'ipotesi in più da una parte: il controllo dei valori agli estremi va fatto sempre, e scritto.
4. Soluzioni fuori intervallo tenute. In $x^3$ su $[0,2]$, il $c = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ va scartato. La riga "$c \in (a,b)$?" è l'ultima del procedimento e la più dimenticata.
5. "Esiste un punto" letto come "esiste un solo punto". Il teorema dice almeno uno. $f(x) = x^3 - 3x$ su $[-2,2]$ ha rapporto incrementale $\frac{2 - (-2)}{4} = 1$, e $3x^2 - 3 = 1$ dà $x = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}155$: entrambi interni, entrambi da riportare.

A cosa servono davvero questi teoremi?

A tenere in piedi mezzo programma di quinta. Il criterio che usi ogni giorno nello studio di funzione — "se $f' > 0$ allora $f$ cresce" — non è un'ovvietà, è una conseguenza di Lagrange: presi $x_1 < x_2$, esiste $c$ tra loro con $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)\,(x_2 - x_1)$, e se $f'(c) > 0$ la differenza è positiva. Allo stesso modo, "derivata nulla su un intervallo implica funzione costante" viene da qui, ed è la base del calcolo integrale.

C'è anche un uso da calcolatrice a mano, che alla Maturità compare nei quesiti. Con $f(x) = \sqrt{x}$ su $[25,26]$, Lagrange dà $\sqrt{26} - 5 = \frac{1}{2\sqrt{c}}$ per un $c$ tra $25$ e $26$. Poiché $\sqrt{c}$ sta tra $5$ e $\sqrt{26}$, la frazione è compresa tra $\frac{1}{2\sqrt{26}} \approx 0{,}098$ e $\frac{1}{10} = 0{,}1$, quindi

Il valore vero è $5{,}099$: una stima a due decimali esatti senza calcolatrice, con un teorema e una riga di conti.

Rolle e Lagrange non finiscono con l'esame di Stato: la dimostrazione di Lagrange tramite Rolle è tra quelle che tornano con più regolarità agli orali di Analisi 1 del primo anno, e chi arriva all'università sapendola ricostruire, non recitare, ha un vantaggio concreto. Se stai già ragionando sull'ingresso in università, i nostri percorsi di preparazione partono proprio dal consolidare queste basi.

Se invece il problema è più a monte — le derivate escono sbagliate, le funzioni a tratti mettono in crisi, la verifica delle ipotesi sembra un rito senza senso — un tutor dedicato può rimettere in ordine i pezzi in poche settimane. Parlaci della tua situazione e prenota la tua prima lezione: iniziamo da un esercizio come quelli qui sopra e vediamo dove si inceppa.

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